立體幾何中二面角的平面角的定位
空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于三定：定性分析→定位作圖→定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點，來談一談平日教學(xué)中體會。
一、 重溫二面角的平面角的定義
如圖（1），α、β是由ι出發(fā)的兩個平面,O是ι上任意一點,OC
α，且OC⊥ι；CD β，且OD⊥ι。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α―ι―β的平面角，從中不難得到下列特征：
淺論數(shù)學(xué)直覺思維及培養(yǎng)
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(試驗修訂本)將培養(yǎng)學(xué)生的三大能力之一"邏輯思維能力"改為"思維能力"，雖然只是去掉兩個字，概念的內(nèi)涵卻更加豐富，人們在教育的實踐中實現(xiàn)了認識上的轉(zhuǎn)變。在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時，還應(yīng)該注重觀察力、直覺力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺思維能力的培養(yǎng)由于長期得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中對數(shù)學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解，認為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的；同時對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺思維能力是社會發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時期社會對人才的需求。
一、數(shù)學(xué)直覺概念的界定
簡單的說，數(shù)學(xué)直覺是具有意識的人腦對數(shù)學(xué)對象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。
對于直覺作以下說明：
(1)直覺與直觀、直感的區(qū)別
直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒有一個嚴(yán)格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說："直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們?nèi)詿o法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。"由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說："這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來，就是所謂'直覺'……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。"
(2)直覺與邏輯的關(guān)系
從思維方式上來看，思維可以分為邏輯思維和直覺思維。長期以來人們刻意的把兩者分離開來，其實這是一種誤解，邏輯思維與直覺思維從來就不是割離的。有一種觀點認為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側(cè)重角度來看，此話不無道理，但側(cè)重并不等于完全，數(shù)學(xué)邏輯中是否會有直覺成分?數(shù)學(xué)直覺是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說不清道不明的東西，人們對各種事件作出判斷與猜想離不開直覺，甚至可以說直覺無時無刻不在起作用。數(shù)學(xué)也是對客觀世界的反映，它是人們對生活現(xiàn)象與世界運行的秩序直覺的體現(xiàn)，再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問題解決中得到發(fā)展的，問題解決也離不開直覺，下面我們就以數(shù)學(xué)問題的證明為例，來考察直覺在證明過程中所起的作用。
一個數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運算或許多"演繹推理元素"，一個成功的數(shù)學(xué)證明是這些基本運算或"演繹推理元素"的一個成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點到目的地的通道，一個個基本運算和"演繹推理元素"就是這條通道的一個個路段，當(dāng)一個成功的證明擺在我們面前開始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實上，出發(fā)不久就會遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問題。龐加萊認為，即使能復(fù)寫出一個成功的數(shù)學(xué)證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認為在數(shù)學(xué)推理中的每一步，直覺力都是不可缺少的。就好似我們平時打籃球，要靠球感一樣，在快速運動中來不及去作邏輯判斷，動作只是下意識的，而下意識的動作正是在平時訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺。
在教育過程中，老師由于把證明過程過分的嚴(yán)格化、程序化。學(xué)生只是見到一具僵硬的邏輯外殼，直覺的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對自己的直覺反而不覺得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒有被激發(fā)出來，學(xué)習(xí)的興趣沒有被調(diào)動起來，得不到思維的真正樂趣。《中國青年報》曾報道，"約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣"，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。
二、直覺思維的主要特點
直覺思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點，從培養(yǎng)直覺思維的必要性來看，筆者以為直覺思維有以下三個主要特點：
(1)簡約性
直覺思維是對思維對象從整體上考察，調(diào)動自己的全部知識經(jīng)驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了"跳躍式"的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰的觸及到事物的"本質(zhì)"。
(2)創(chuàng)造性
現(xiàn)代社會需要創(chuàng)造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒國外的經(jīng)驗，過多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認知結(jié)構(gòu)向外無限擴展，因而具有反常規(guī)律的獨創(chuàng)性。
伊恩．斯圖加特說："直覺是真正的數(shù)學(xué)家賴以生存的東西"，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺。歐幾里得幾何學(xué)的五個公設(shè)都是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發(fā)現(xiàn)苯分了環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個直覺思維的成功典范。
(3)自信力
學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數(shù)學(xué)本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數(shù)學(xué)本身。成功可以培養(yǎng)一個人的自信，直覺發(fā)現(xiàn)伴隨著很強的"自信心"。相比其它的物資獎勵和情感激勵，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會產(chǎn)生一種強大的學(xué)習(xí)鉆研動力，從而更加相信自己的能力
高斯在小學(xué)時就能解決問題"1+2+ …… +99+100＝?"，這是基于他對數(shù)的敏感性的超常把握，這對他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺意識，對有限的直覺也半信半疑，不能從整體上駕馭問題，也就無法形成自信。
三、直覺思維的培養(yǎng)
一個人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。
(!)扎實的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺的源泉
直覺不是靠"機遇"，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎(chǔ)。若沒有深厚的功底，是不會進發(fā)出思維的火花的。阿提雅說："一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個問題的足夠多的經(jīng)驗．對此你就會產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺。"阿達瑪曾風(fēng)趣的說："難道一只猴了也能應(yīng)機遇而打印成整部美國憲法嗎?"
(2)滲透數(shù)學(xué)的哲學(xué)觀點及審美觀念
直覺的產(chǎn)生是基于對研究對象整體的把握，而哲學(xué)觀點有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對立統(tǒng)一、運動變化、相互轉(zhuǎn)化、對稱性等。例如（a+b）2= a2+2ab-b2 ，即使沒有學(xué)過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結(jié)論的真?zhèn)巍?/p>
美感和美的意識是數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數(shù)學(xué)直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對稱的角度考慮，大膽的提出了反物質(zhì)的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說，如果一個物理方程在數(shù)學(xué)上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。
(3)重視解題教學(xué)
教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類型，有利于培養(yǎng)，考察學(xué)生的直覺思維。
例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，容許合理的猜想，有利于直覺思維的發(fā)展。實施開放性問題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺思維能力的培養(yǎng)。
(4)設(shè)置直覺思維的意境和動機誘導(dǎo)
這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把主動權(quán)還給學(xué)生。對于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維，以免挫傷學(xué)生直覺思維的積極性和學(xué)生直覺思維的悟性。教師應(yīng)及時因勢利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對自己的直覺產(chǎn)生成功的喜悅感。
"跟著感覺走"是教師經(jīng)常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應(yīng)該把直覺思維冠冕堂皇的在課堂教學(xué)中明確的提出，制定相應(yīng)的活動策略，從整體上分析問題的特征；重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發(fā)展大有稗益。
四、結(jié)束語
直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說過這樣一句話，"數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。"受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。
如何激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機
學(xué)習(xí)動機是指個人的意圖愿望、心理需求或企圖達到目標(biāo)的一種動因、內(nèi)在力量。只有極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機，才能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，才能提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。那么，怎樣才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機呢？
一、使學(xué)生對學(xué)習(xí)有一個正確的認識，是激發(fā)學(xué)習(xí)動機的前提
１．使學(xué)生認識到學(xué)習(xí)是現(xiàn)代人生存的需要。聯(lián)合國教科文組織提出：未來的文盲不是不識字的人，也不是識字很少的人，而是不會學(xué)習(xí)的人。從本世紀(jì)２０年代開始，隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，把人類帶進了信息時代，新知識的巨增和舊知識的快速老化，要求人們善于學(xué)習(xí)、終身不斷地進行學(xué)習(xí)。
２．使學(xué)生認識到自己是學(xué)習(xí)過程中的主人。使學(xué)生明白只有自己親自參與新知識的發(fā)現(xiàn)、獨立解決問題、善于思辯、習(xí)慣于歸納整理，才能真正鍛煉自己的思維、開發(fā)自己的智力、發(fā)展自己的能力。否則，僅僅知曉一個個問題的現(xiàn)成答案，自己的思維沒有得到任何的鍛煉，就失去了“數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操”的作用。久而久之，定會兩手空空無所收獲！
二、應(yīng)用恰當(dāng)?shù)姆椒�，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機
１．巧設(shè)懸念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望
欲望是一種傾向于認識、研究、獲得某種事物的心理特征。在學(xué)習(xí)過程中，可以通過巧設(shè)懸念，使學(xué)生對某種知識產(chǎn)生一種急于了解的心理，這樣能夠激起學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。例如：在講“一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系”一課時，先給學(xué)生講個小故事：一天，小明去小李家看他，當(dāng)時小李正在做解一元二次方程的習(xí)題，小明一看就告訴小李哪道題做錯了。小李非常驚訝，問小明有什么“判斷的秘法”？此時，我問學(xué)生“你們想不想知道這種秘法？”。同生們異口同聲地說“想！”，于是同學(xué)們非常有興趣地上完了這節(jié)課。
２．引起認知沖突，引起學(xué)生的注意
認知沖突是人的已有知識和經(jīng)驗與所面臨的情境之間的沖突或差異。這種認知沖突會引起學(xué)生的新奇和驚訝，并引起學(xué)生的注意和關(guān)心，從而調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)的積極性。例如：“圓的定義”的教學(xué)，學(xué)生日常生活中對圓形的實物接觸得也較多，小學(xué)又學(xué)過一些與圓有關(guān)的知識，對圓具有一定的感性和理性的認識。然而，他們還無法揭示圓的本質(zhì)特征。如果教師此時問學(xué)生“究竟什么叫做圓？”，他們很難回答上來。不過，他們對“圓的定義”已經(jīng)產(chǎn)生了想知道的急切心情，這時再進行教學(xué)則事半功倍。
３．給予成功的滿足
興趣是帶有情緒色彩的認識傾向。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生如果獲得成功，就會產(chǎn)生愉快的心情。這種情緒反復(fù)發(fā)生，學(xué)習(xí)和愉快的情緒就會建立起較為穩(wěn)定的聯(lián)系，學(xué)生對學(xué)習(xí)就有了一定的興趣。正如原蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基所說：“成功的歡樂是一種巨大的情緒力量，它可以促進兒童好好學(xué)習(xí)的愿望。請你注意無論如何不要使這種內(nèi)在力量消失�！保ā督o教師的建議》）。
４．進行情感交流，增強學(xué)習(xí)興趣
“感人心者莫先乎于情”，教師應(yīng)加強與學(xué)生感情的交流，增進與學(xué)生的友誼，關(guān)心他們、愛護他們，熱情地幫助他們解決學(xué)習(xí)和生活中的困難。作學(xué)生的知心朋友，使學(xué)生對老師有較強的信任感、友好感、親近感，那么學(xué)生自然而然地過渡到喜愛你所教的數(shù)學(xué)學(xué)科上了。達到“尊其師，信其道”的效果。
和學(xué)生進行情感交流的另一個方面是：教師通過數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)史學(xué)的故事等，來讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展、演變及其作用，了解數(shù)學(xué)家們是如何發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)原理及他們的治學(xué)態(tài)度等。比如：筆者給學(xué)生講“數(shù)學(xué)之王──高斯”、“幾何學(xué)之父──歐幾里德”、“代數(shù)學(xué)之父──韋達”、“數(shù)學(xué)之神──阿基米德”等數(shù)學(xué)家的故事，不僅使學(xué)生對數(shù)學(xué)有了極大的興趣，同時從中也受到了教育。起到了“動之以情，曉之以理，引之以悟，導(dǎo)之以行”的作用。
５．適當(dāng)開展競賽，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性
適當(dāng)開展競賽是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和爭取優(yōu)異成績的一種有效手段。通過競賽，學(xué)生的好勝心和求知欲更加強烈，學(xué)習(xí)興趣和克服困難的毅力會大大加強，所以在課堂上，尤其是活動課上一般采取競賽的形式來組織教學(xué)。
６．及時反饋，不斷深化學(xué)習(xí)動機
從信息論和控制論角度看，沒有信息反饋就沒有控制。學(xué)生學(xué)習(xí)的情況怎樣，這需要教師給予恰當(dāng)?shù)卦u價，以深化學(xué)生已有的學(xué)習(xí)動機，矯正學(xué)習(xí)中的偏差。教師既要注意課堂上的及時反饋，也要注意及時對作業(yè)、測試、活動等情況給予反饋。使反饋與評價相結(jié)合，使評價與指導(dǎo)相結(jié)合，充分發(fā)揮信息反饋的診斷作用、導(dǎo)向作用和激勵作用，深化學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動機。
當(dāng)通過反饋，了解到一個小的教學(xué)目標(biāo)已達到后，要再次“立障”、“設(shè)疑”深化學(xué)生學(xué)習(xí)動機，使學(xué)生始終充滿了學(xué)習(xí)動力。比如：“提公因式法因式分解”教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生對形如：am+an,a(m+n)+b(m+n)的多項式會分解以后，再提出新問題，形如：a(m-n)+b(n-m)的多項式如何利用提公因式的方法因式分解呢？只有這樣才能使學(xué)生的思維始終處于積極參與學(xué)習(xí)過程的狀態(tài)，才能真正地深化學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。
總之，要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動機，首先是使學(xué)生對學(xué)習(xí)有一個正確的認識，這是學(xué)習(xí)動力的源泉。爾后，是激發(fā)學(xué)習(xí)動機的技術(shù)性問題，即如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。一句話，抓住學(xué)生的興趣特點：他們常常對新穎的東西感興趣，對運動變化的東西感興趣，對相互矛盾的東西感興趣，對笑話、幽默故事感興趣，對美的東西感興趣，對實驗、操作感興趣，對競賽和游戲等感興趣。以培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣為核心，全方位激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機。
什么是數(shù)學(xué)思想？它們的作用是什么？
所謂數(shù)學(xué)思想，是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識；基本數(shù)學(xué)思想則是體現(xiàn)或應(yīng)該體現(xiàn)于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的具有奠基性、總結(jié)性和最廣泛的數(shù)學(xué)思想，它們含有傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想的精華和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的基本特征，并且是歷史地發(fā)展著的。
“數(shù)學(xué)思想”比一般的“數(shù)學(xué)概念”具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具體、更豐富，而前者比后者更本質(zhì)、更深刻。“數(shù)學(xué)思想”是與其相應(yīng)的“數(shù)學(xué)方法”的精神實質(zhì)與理論基礎(chǔ)，“數(shù)學(xué)方法”則是實施有關(guān)的“數(shù)學(xué)思想”的技術(shù)與操作程式中。中學(xué)數(shù)學(xué)用到的各種數(shù)學(xué)方法，都體現(xiàn)著一定的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)思想屬于科學(xué)思想，但科學(xué)思想未必就是數(shù)學(xué)思想。有的數(shù)學(xué)思想（例如“一分為二”的思想和“轉(zhuǎn)化”思想）和邏輯思想（例如完全歸納的思想）由于其在數(shù)學(xué)中的運用而被“數(shù)學(xué)化”了，也可以稱之為數(shù)學(xué)思想。
基本數(shù)學(xué)思想包括：符號與變元表示的思想，集合思想，對應(yīng)思想，公理化與結(jié)構(gòu)思想，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想，函數(shù)與方程的思想，整體思想，極限思想，抽樣統(tǒng)計思想等。當(dāng)我們按照空間形式和數(shù)量關(guān)系將研究對象進行分類時，把分類思想也看作基本數(shù)學(xué)思想�；緮�(shù)學(xué)思想有兩大基石――符號與變元表示的思想和集合思想，又有兩大支柱――對應(yīng)思想和公理化結(jié)構(gòu)思想�；緮�(shù)學(xué)思想及其衍生的其他數(shù)學(xué)思想，形成了一個結(jié)構(gòu)性很強的網(wǎng)絡(luò)。
數(shù)學(xué)中滲透著基本數(shù)學(xué)思想，它們是基礎(chǔ)知識的靈魂，如果能使它們落實到我們學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中去，那么我們的得到的是很多的。
數(shù)學(xué)教學(xué)雜談
中國的數(shù)學(xué)教育正在從“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)軌。改革開放的步伐，社會主義市場經(jīng)濟的大潮，正向缺乏活力的數(shù)學(xué)教育提出新的要求�！懊嫦蚴澜纾嫦蚰﹣�，面向現(xiàn)代化”，再也不能停留在口頭上或紙面上了。以改革的精神，把充滿活力的小學(xué)教育帶進21世紀(jì)，已是擺在我們面前的迫切任務(wù)。
在我們的教育界中經(jīng)常能聽到有關(guān)“素質(zhì)教育”方面的事情，但真正能做到實在是太難，更多的是表面的文章，如果再這樣下去的話，只有百害而無一益，我們時時刻刻在教育孩子們要誠實，大膽敢于創(chuàng)新，為什么我們卻不能大膽的去承認錯誤，放開腳步去改革。
首先，必須改變教育觀。在當(dāng)前的各類學(xué)校中，不管教學(xué)者還是管理者、還是學(xué)生、還是家長，心中都把考第一，成績看成唯一的衡量學(xué)生好壞的標(biāo)準(zhǔn)。使得教師和學(xué)生都圍繞分?jǐn)?shù)進行著教學(xué)。尤其是小學(xué)，學(xué)生整天為了學(xué)習(xí)，已經(jīng)把兒童天生的“好奇心”快要埋沒了，變在太多的“好勝心”，變成了沿著“一條有規(guī)律”的路走著，這樣使他們形成 我們平時所講的“書呆子”。而我們所需要的卻要是能夠探索自然奧秘，發(fā)現(xiàn)大自然規(guī)律，為人類做貢獻的人才，這才是我們所追求最高的教育境界。
其次，要改變數(shù)學(xué)觀。數(shù)學(xué)不等于計算，也不等于邏輯。我們的數(shù)學(xué)太注重機械的機能要求，抽象的邏輯推理。我想我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不外是讓學(xué)生能在生活中能運用數(shù)學(xué)的知識和技能來解決實際問題。例如我們的數(shù)學(xué)中包括許多用處不大的東西，過量的計算速度，矯揉造作的應(yīng)用題正在無情地吞噬孩子們的寶貴時間，讓那些“相向而行”、“相對而行”之類的所謂應(yīng)用題走遠些，別再折騰孩子了。所以我們必須想盡辦法來使書本的知識和學(xué)生的生活聯(lián)系起來，讓學(xué)生把知識用活。
再次，應(yīng)改革數(shù)學(xué)教材�，F(xiàn)行的九年制義務(wù)教材有些東西應(yīng)該讓它走遠些。例如有關(guān)計算的題目如四步的遞等式，還有多位數(shù)的加減或乘除（數(shù)字比較大的），以及要求學(xué)生對此類計算題目要做到又對又快，又有何用呢？無非是數(shù)學(xué)雜技而已。21世紀(jì)的末來社會是計算機的時代，象過多過大的計算就讓計算機去做。美國的學(xué)生要求在12歲時都能上網(wǎng)，我們到今還沒有用上電腦，甚至有的連什么是電腦也不知道。這樣的學(xué)生怎能適應(yīng)末來的社會呢？所以教材應(yīng)多放一些情景題、開放題、動手題。至于一些生編硬造，故弄玄虛的小學(xué)應(yīng)用題，還是少一些吧！再比如一定讓學(xué)生分清乘數(shù)和被乘數(shù)，而且必須把被乘數(shù)放在前面，連交換律都不成立了，真是何苦呢？講了這么多，也不是說我們現(xiàn)行的教材一點也沒有，它已經(jīng)在這方面有所發(fā)展，我們并不能把它極端化。
最后，我們要改革課堂。把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生。漢字“學(xué)習(xí)”的象形意義是雛鳥模仿飛行動作，以模仿為主要含義。西方的學(xué)習(xí)“study",就有學(xué)習(xí)和研究的兩重意思。確實，數(shù)學(xué)教師不能充當(dāng)數(shù)學(xué)知識施舍者的角色。教師不該是至高無上的權(quán)威。事實上，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)是通過數(shù)學(xué)活動而得到，即學(xué)生自己通過研究、比較、建構(gòu)，逐步形成自己的知識框架。所以，我自己認為應(yīng)多設(shè)計一些數(shù)學(xué)活動課，讓學(xué)生真正動起來，也許非常必要。
在這里我想說說自己在這方面的想法。
1、布魯納說過，學(xué)習(xí)的最好刺激是對教學(xué)材料的興趣。例如：小數(shù)的加減法，這一教學(xué)內(nèi)容對五年級學(xué)生較為抽象，而學(xué)生對生活中商品的價格卻是極為熟悉，因此在教學(xué)小數(shù)的加減法時，設(shè)置生活模擬場景，由學(xué)生做營業(yè)員和顧客，用自制的紙幣進行商品交易。營業(yè)員們仔細地用“元”作單位為商品標(biāo)價，熱情地接待顧客，認真地收錢，找錢。顧客們則興高采烈地選購商品、看價、付錢。在活動中，同學(xué)們初步認識了小數(shù)的加減法，并對其產(chǎn)生極大的興趣。這樣可使學(xué)生感到數(shù)學(xué)并不枯燥，它是那么地有趣，富有吸引力，離我們又是那么地近。
2、在生活中交流是一種最平常而最有效的社會能力。我們所培養(yǎng)的學(xué)生將來必將走向社會，因此我們可以在課堂上設(shè)立一些有關(guān)這方面的活動。例如：可以把一些尋求規(guī)律的問題等讓學(xué)生分同桌互說、小組討論、集休交流等形式來進行，這樣使那些不敢發(fā)言的學(xué)生也有了一次能說說自己發(fā)自內(nèi)心的話，也使教師想解決各種層次不同學(xué)生心中的疑難問題這個任務(wù)輕輕松松的在各種形式的討論交流中迎刃而解，這樣就使學(xué)生解決了學(xué)習(xí)的任務(wù)，又鍛煉了學(xué)生自己的能力。同樣使教師順利的完成了本節(jié)課的內(nèi)容。例如：在講解商中間有零的除法時，教師費盡心機的想講清楚在此寫上零這個難點時，還不如讓全班學(xué)生經(jīng)過討論，教師再來歸納好。
3、上面提到過的學(xué)生的“好奇心”乃是小學(xué)生重要的心理特征之一，常言道：“學(xué)起于思，思源于疑”。教學(xué)中若平鋪直敘地講解，只能是教師講得口干舌燥，而學(xué)生卻對此毫無興趣，因此在教學(xué)中適當(dāng)?shù)卦O(shè)置懸念，使學(xué)生在心理上產(chǎn)生疑問和要求質(zhì)疑的心態(tài)，才能使之產(chǎn)生強烈的求知欲，激發(fā)起對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。例如：教學(xué)用簡便方法計算時，我先示題：25X72X4，99X99......接著讓學(xué)生進行計算、打草稿、抄答案，足足忙了一陣子，有的還算錯了。這時我卻輕松地將各題的答案寫在等號后面，學(xué)生們一臉的疑惑，猜不透老師是怎樣“神機妙算”的。我告訴學(xué)生要以新方法：運用“乘法的運算定律”對這些題目進行簡便運算。這一課以一懸念開始新課的教學(xué)，使學(xué)生一開始就產(chǎn)生探求新知識的欲望，調(diào)動了學(xué)習(xí)積極性。
總之，要把學(xué)生吸引到我們的數(shù)學(xué)課堂上來，使他們愿意學(xué)，積極學(xué)。我想作為一名普通的教師可以在如何調(diào)動學(xué)生的興趣和積極性上去探索和嘗試一下。
談張思明的“導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”教學(xué)模式
正向我們走來的二十一世紀(jì)是知識經(jīng)濟和高科技的時代。為了適應(yīng)時代的要求，科學(xué)院系統(tǒng)已經(jīng)提出建設(shè)國家創(chuàng)新體系，并開始實施知識創(chuàng)新工程；教育系統(tǒng)也提出了創(chuàng)新教育及培養(yǎng)具有高素質(zhì)的創(chuàng)新人才的目標(biāo)。作為基礎(chǔ)教育的中學(xué)，為培養(yǎng)具有高系質(zhì)的創(chuàng)新人才打好基礎(chǔ)，全面實施素質(zhì)教育，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，已逐漸成為大家的共識。培養(yǎng)目標(biāo)及任務(wù)的變化，必然導(dǎo)致教學(xué)模式的改革。這就需要從單純傳授知識的傳統(tǒng)教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變到在傳授知識的同時，更要重視學(xué)生能力。特別是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的新教學(xué)模式。在這方面，北大附中副校長、特級教師張思明對“導(dǎo)學(xué)探索，自主解決”的教學(xué)模式進行了有益的嘗試，工取得了可歷史意義的成果。本文就張思明“導(dǎo)學(xué)探索、知主解決”教學(xué)模式的基本內(nèi)容、特點及其對我們的啟示進行簡要分析。
一、“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式的基本內(nèi)容及其效果
張思明在他從事多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，逐漸摸索并總結(jié)出“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式的五個環(huán)節(jié)：
1、A環(huán)節(jié)��引導(dǎo)創(chuàng)設(shè)問題環(huán)境
根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，可以采用多種方式引導(dǎo)學(xué)生提出或設(shè)置問題。如：讓學(xué)生通過自學(xué)課本提出和發(fā)現(xiàn)問題；根據(jù)學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的錯誤設(shè)置問題；根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)討論、研究中的發(fā)現(xiàn)引出問題；從上課開始的10分鐘，自行設(shè)計相關(guān)的問題。
問題是思考的起點。教師引導(dǎo)學(xué)生圍繞教材或課本內(nèi)容提出或設(shè)置需要解決問題，實際上，就是教師引導(dǎo)學(xué)生認真讀書，積極思級，激發(fā)探索問題的主動性，使學(xué)生明確本節(jié)課重點要解決的問題，此導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生進行思考。
2、B��環(huán)節(jié)師生平等探索討論
對（A）提出或設(shè)置的問題，教師要通過引導(dǎo)、類比、對比、聯(lián)想、觀察、實驗、歸納、化歸，形成更數(shù)學(xué)化、更抽象化的問題；或形成引入探索、有希望成立的猜想；事項分解成更小、更具體、更可操作、更熟悉、更清晰并表現(xiàn)出遞進層次的問題，從而使嚳一的思考更科學(xué)化，為培養(yǎng)創(chuàng)造性思維作好必要的思考準(zhǔn)備。
3、C環(huán)節(jié)��學(xué)生自主解決問題
在（B）的基礎(chǔ)上，教師要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用學(xué)過的知識自己解決問題。特別要鼓勵學(xué)生在自主解決問題中的獨創(chuàng)性和創(chuàng)新精神。解決問題的方式，可以是“各自為戰(zhàn)”，也可以“分組分群”，還可以“你一言、我一語”討論式進行。對于一時“迷路”的學(xué)生，不要馬上否定，而要盡可能地肯定學(xué)生思維中的合理成分。要激勵學(xué)生，爭取給更多的學(xué)生創(chuàng)設(shè)參與機會，使全們得到自主解決的訓(xùn)練和感受成功的體驗。
4、D環(huán)節(jié)��評價總結(jié)鞏固成果
教師引導(dǎo)學(xué)生對（B）、（C）中探索發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程與成果進行自我評價，自我總結(jié)。比如，讓學(xué)生來評價：探索發(fā)現(xiàn)的是否充分，問題解決的是否有效、徹底、簡潔，得到的主法和結(jié)果有何意義，有何應(yīng)用價值等等。對于某一學(xué)生的評價或小結(jié)，教師還可以讓另一個學(xué)生再作“評價”的評價，也可以讓學(xué)生構(gòu)作一些練習(xí)來鞏固學(xué)習(xí)成果。
5、E環(huán)節(jié)��求異探新形成（知識和問題）周轉(zhuǎn)
課的結(jié)尾，教師要引導(dǎo)學(xué)生變維（改變問題的維度）、變序（改變問題的條件、結(jié)論）等方式來發(fā)散式提出新問題，并將新問題鏈引向課外或后繼課程。需要指出的是，這里引導(dǎo)學(xué)生提問題的主要目的是培養(yǎng)學(xué)生設(shè)問、疑問、想問題的思維方法和習(xí)慣。能否最終解決問題，由于受多種條件的限制，已不是最重要的了。最后教師布置三類作業(yè)：A類��不限定格式、主式的作業(yè)，如閱讀參考書的相關(guān)章節(jié)，預(yù)習(xí)或在教科書的白邊處寫批注，作略解等；B類��有指定要求的常規(guī)書面作業(yè)，要“少而精”；C類��選作性作業(yè)，或探索性作業(yè)，或微科研小課題等。
上面由5個環(huán)節(jié)組成的“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式，在具體實施或操作時，時間上不受單一課時的限制�？梢允且粋�教學(xué)單元（如連排兩節(jié)課），也可以是一節(jié)課的局部環(huán)節(jié)，甚至可以延伸到果外活動和寒暑假的作業(yè)中去。
張思明通過上述環(huán)節(jié)，運用“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式，進行高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅使果堂活躍，大大調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)和積極性，激發(fā)起學(xué)生的探索欲望，而且在探索中發(fā)現(xiàn)問題、分析歸納問題、嘗試解決問題、評價解決問題成果和進一步探索新問題的過程中，學(xué)生思維方式得到科學(xué)引導(dǎo)，創(chuàng)新能力得到培養(yǎng)。許多學(xué)生反映：上一堂
二、“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式的基本特點和目標(biāo)
1、它是一種努力實現(xiàn)教學(xué)過程“兩主”作用有機結(jié)合的開放式教學(xué)模式
“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式，實際上是試圖體現(xiàn)發(fā)現(xiàn)法、問題解決、引疑法、嘗試指導(dǎo)效果回授等諸多教學(xué)模式的共同優(yōu)點；試圖努力實現(xiàn)教學(xué)過程“兩主”作用的有機結(jié)合。教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)好的問題環(huán)境，激發(fā)學(xué)生自主地探索解決問題的積極性和創(chuàng)造性；學(xué)生的主體作用體現(xiàn)在問題的探索、發(fā)現(xiàn)、解決上，而且問題的提出和解決程度和方式，由學(xué)生自主控制來完成。這種“兩主”作用的有機結(jié)合，不僅體現(xiàn)在當(dāng)堂課上，而且和課前后問題的銜接、擴展、延伸是緊密結(jié)合的，并構(gòu)成了問題鏈。這種把課前、課中、課后知識及問題組合成類類似于食物鏈的問題鏈，就是一種不局限于單純課堂教學(xué)的開放教學(xué)模式。
2、它體現(xiàn)了教學(xué)過程由教為主到以學(xué)為主的重心轉(zhuǎn)移
教師要從培養(yǎng)學(xué)生能力，特別是培養(yǎng)創(chuàng)新能力的目標(biāo)來組織教學(xué)，就不能單純地在課堂上只傳授知識，課堂教學(xué)的主要活動也不是簡單地只由教師來講授，而是要通過學(xué)生自主地自學(xué)探索，教師平等地參與學(xué)生的探索和學(xué)習(xí)活動來完成，并實現(xiàn)教學(xué)過程從以教為主到以學(xué)為主的重心轉(zhuǎn)移。在這里，教師不應(yīng)只是“講演者”，不應(yīng)“總是正確的指導(dǎo)導(dǎo)者”，而應(yīng)不時扮演下列角色：“模特”��他不僅演示正確的，也表現(xiàn)正常的失誤及糾正失誤的思維技能；“參謀”��提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學(xué)生做出決斷；“詢問者”��故作不知，問原因，找漏洞，督促學(xué)生完成進度；“仲裁者”��評判學(xué)生工作及成果的價值、意義，鼓勵學(xué)生有創(chuàng)造性的想法和作法。教師按這樣的不同角色的組織教學(xué)，就可以真正做到把教和學(xué)融為一體。
3、它是由他律向自律方向方向發(fā)展教學(xué)模式
學(xué)生的自學(xué)能力、探索精神、創(chuàng)新總識、解決實際問題的能力的形成需要一個由量變到質(zhì)變的積累過程，而這個過程正是把教師的外部控制轉(zhuǎn)變成學(xué)生的自我控制的過程，也就是由他律向自律轉(zhuǎn)變的過程。“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”的“導(dǎo)學(xué)”是為學(xué)生提供一種學(xué)習(xí)的“模本”或“示范”，是學(xué)生完成自學(xué)的體驗和準(zhǔn)備。而學(xué)生在“導(dǎo)學(xué)”啟示下進行探索，學(xué)會自學(xué)，掌握學(xué)習(xí)過程和自主解決問題的方法，使嚳一接受成功與挫折的體驗，這增強學(xué)生學(xué)好的自信心，培養(yǎng)意志品質(zhì)、交往能力都是十分有益的，進而使學(xué)生學(xué)會“求知”，學(xué)會“做人”，學(xué)會“合作”，學(xué)會“生存”，為“可持續(xù)發(fā)展”和“終生教育”打下良好基礎(chǔ)。這正是“導(dǎo)學(xué)”的最終目標(biāo)，也是這種教學(xué)模式的目標(biāo)和歸宿。
以激勵學(xué)習(xí)為特征，以學(xué)生為中心的“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式，較好地突破了單純傳授知識的傳統(tǒng)教學(xué)模式，深化了課堂教學(xué)的改革，提高了課堂教學(xué)效益，使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、獨立思考、個性特長及創(chuàng)新能力等方面得到提高發(fā)展。這種教學(xué)方法，為重點中學(xué)適應(yīng)新形勢要求，全面實施素質(zhì)教育，為培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才打下良好基礎(chǔ)，提供了一種可操作的教學(xué)實踐模式。
三、“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式給我們的啟示
1、教師轉(zhuǎn)變教育思想和觀念是提出和實踐這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)
張思明之所以在多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)上提出和實踐這種教學(xué)模式，是由于他在教學(xué)實踐中認識到，傳統(tǒng)的教學(xué)模式把重點放在培養(yǎng)學(xué)生的認知能力上，甚至有的還把學(xué)生當(dāng)成“知識容器”，認為教學(xué)過程就是從教師這個“缸”里把知識一瓢一瓢地裝在學(xué)生“桶”中。這種模式是難以培養(yǎng)出具有個性特長和創(chuàng)造精神、創(chuàng)新能力的人才來的。他認為數(shù)學(xué)是“做”出來的，不是“教”出來的。一個學(xué)生只在課堂上“聽”課，沒有活動，沒有“做”，就不能形成真正的學(xué)習(xí)。他還認為，數(shù)學(xué)教學(xué)過程必須重視讓學(xué)生親身感受，動手操作，動口交流。在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生有目標(biāo)的探索和高度自主解決問題的過程，正是形成學(xué)生良好認識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。所以他提出數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅僅局限于發(fā)展學(xué)生的認知能力，而更關(guān)注學(xué)生作為“社會中人”的發(fā)展，特別是學(xué)生個性和創(chuàng)造力的發(fā)展。他說：“數(shù)學(xué)教學(xué)不再是教師單純地為學(xué)生的付出，而教師創(chuàng)造性生活一部分。數(shù)學(xué)教學(xué)的過程是師生雙方實現(xiàn)自己生命價值和自身發(fā)展的舞臺。”正是在這種全新教育思想和觀念的指導(dǎo)下，張思明才逐步總結(jié)并提出了“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”的教學(xué)模式。同樣，要實踐這種教學(xué)模式，也要求必須建立起新的、符合時代要求的教育思想和觀念。
2、教師的高素質(zhì)和高能力是提出和實踐這種教學(xué)模式的重要條件
“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)模式最終的目標(biāo)是培養(yǎng)高素質(zhì)和高能力的學(xué)生，為培養(yǎng)創(chuàng)新人才打下良好的基礎(chǔ)。這種高目標(biāo)勢必要求教師也應(yīng)具有高素質(zhì)和高能力。張思明本人從一個晉通高中畢業(yè)生，通過艱苦的自學(xué)成才之路，成長為一名在教育、教學(xué)上都作出突出成績的優(yōu)秀教師，無論是業(yè)務(wù)功底，獨立思考、創(chuàng)造思維能力及敬業(yè)奉獻精神都達到校的程度。正是這種切身的體驗和感受，這種自身對高素質(zhì)和高能力的追求，才使他可能提出這種新的教學(xué)模式。正如張思明所說：“只有教師的創(chuàng)造力，才可能激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造欲；只有教師自己不斷學(xué)習(xí)，自主地鉆研探索教學(xué)規(guī)律，才有可能影響學(xué)生自主的學(xué)習(xí)和鉆研；只有在充滿生命力與和諧氣氛的教學(xué)環(huán)境中，師生共同參與，相互作用，才能摩擦出智慧的火花，結(jié)出創(chuàng)造之果�！蓖瑯樱獙嵺`這種教學(xué)模式，其重要條件是教師必須對自己的素質(zhì)和能力方面有高的要求，并達到高的境界。
3、學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)要為推廣和完善這種教學(xué)模式創(chuàng)造良好環(huán)境
“導(dǎo)學(xué)探索、自主解決”教學(xué)實踐模式要求高、難度大，要真正推廣和進一步完善，不僅需要廣大教師轉(zhuǎn)變教育思想和觀念，而且要求教師本身具有高的素質(zhì)和能力，這樣勢必帶來困難。作為學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)，要高瞻遠矚，從迎接二十一世紀(jì)挑戰(zhàn)的培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才高度來認識這種模式的重要意義，需要果斷地采取有效措施來支持、推廣和進一步完善這種及其他教學(xué)模式，為這種或其他教學(xué)模式的推廣創(chuàng)造良好的空間的環(huán)境。這里特別需要提到的是，在實踐這種教學(xué)模式過程中，由于學(xué)生、教師及其他條件的原因，可能一時出現(xiàn)這樣或那樣的問題時，作為學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)，一定要以一種積極的態(tài)度對待。在實踐這種模式時，對于某些教師暫時存在的“怕影響學(xué)習(xí)成績”、“怕達不到要求”等，也要正確引導(dǎo)，由點到面達逐步擴展。推廣這種教學(xué)模式過程，實際上就是深化教學(xué)改革的過程。在這主面，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)投入較大精力是值得的。
專題訓(xùn)練（十二）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1．函數(shù) 的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．設(shè)直線 ax+by+c=0的傾斜角為，且sin+cos=0，則a,b滿足（ ）
A． B． C． D．
3．設(shè)是函數(shù)f(x)=的反函數(shù)，則下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果雙曲線上一點P到右焦點的距離為, 那么點P到右準(zhǔn)線的距離是（ ）
A． B．13 C．5 D．
5．把正方形ABCD沿對角線AC折起，當(dāng)A、B C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD與平面ABC所成的角的大小為（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
6．某公司甲、乙、丙、丁四個地區(qū)分別有150 個、120個、180個、150個銷售點.公司為了調(diào)查產(chǎn)品的情況，需從這600個銷售點中抽取一個容量為100的樣本，記這項調(diào)查為①；在丙地區(qū)中有20個特大型銷售點，要從中抽取7個調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項調(diào)查為②.則完成這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次為 （ ）
A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡單隨機抽樣法
C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡單隨機抽樣法，分層抽樣法
7．若f(x)=-x2+2ax與在區(qū)間[1,2]上都是減函數(shù)，則a的值范圍是（ ）
A． B． C．（0，1） D．
8．已知向量,向量則的最大值，最小值分別是（ ）
A． B． C．16，0 D．4，0
9．若函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖象的頂點在第四象限，則函數(shù)f /(x)的圖象是（ ）
10．從正方體的八個頂點中任取三個點作為三角形，直角三角形的個數(shù)為（ ）
A．56 B．52 C．48 D．40
11．農(nóng)民收入由工資性收入和其它收入兩部分構(gòu)成.2003年某地區(qū)農(nóng)民人均收入為3150元(其中工資性收入為1800元，其它收入為1350元), 預(yù)計該地區(qū)自2004年起的5 年內(nèi)，農(nóng)民的工資性收入將以每年6%的年增長率增長，其它收入每年增加160元。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，2008年該地區(qū)農(nóng)民人均收入介于（ ）
A．4200元~4400元 B．4400元~4600元
C．4600元~4800元 D．4800元~5000元
12．設(shè)集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0},那么點P（2，3）的充要條件是（ ）
A． B．
C． D．
專題訓(xùn)練(十一)
題號
1
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11
12
答案
1．若U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 則（ ）
(A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4} (D) {2}
2．直線y=2與直線x+y―2=0的夾角是（ ）
(A) (B) (C) (D)
３．已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列, 則=（ ）
(A) ?4 (B) ?6 (C) ?8 (D) ?10
４．已知向量且∥，則=
(A) (B) (C) (D)
５．點P從（1，0）出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動弧長到達Q點，則Q的坐標(biāo)為（ ）
(A)（ (B)（ (C)（ (D)（
６．曲線y2=4x關(guān)于直線x=2對稱的曲線方程是（ ）
(A)y2=8-4x (B)y2=4x-8 (C)y2=16-4x (D)y2=4x-16
７．若展開式中存在常數(shù)項,則n的值可以是（ ）
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12
８．“”“A=30º”的（ ）
(A) 充分而不必要條件 (B) 必要而不充分條件
９．若函數(shù)的定義域和值域
都是[0，1]，則a=（ ）
(A) (B) (C) (D)2
10．如圖，在正三棱柱ABC―A1B1C1中已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD與平面AA1C1C所成的角為，則=
(A) (B) (C) (D)
11．橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，線段F1F2被點（，0）分成5：3兩段，則此橢圓的離心率為 （ ）
(A) (B) (C) (D)
12．若和g(x)都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則不可能是（ ）
(A) (B) (C) (D)
專題訓(xùn)練（九）
題號
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答案
1．設(shè)集合U={1，2，3，4，5}，集合M={0，3，5}，N={1，4，5}，則M∩（CU N）=（ ）
A．{5} B．{0，3} C．{0，2，3，5} D． {0，1，3，4，5}
2．函數(shù)的反函數(shù)為（ ）
A． B．
C． D．
3．正三棱柱側(cè)面的一條對角線長為2，且與底面成45°角，則此三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
4． 函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象（ ）
A．向左平移3個單位長度 B．向右平移3個單位長度
C．向左平移1個單位長度 D．向右平移1個單位長度
6．等差數(shù)列中，，則此數(shù)列前20項和等于
A．160 B．180 C．200 D．220
7．已知函數(shù)的圖象有公共點A，且點A的橫坐標(biāo)為2，則（ ）
A． B． C． D．
8．已知圓C的半徑為2，圓心在軸的正半軸上，直線與圓C相切，則圓C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
9．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（ ）
A．210種 B．420種 C．630種 D．840種
10．函數(shù)的最小值等于（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．－
11．已知球的表面積為20，球面上有A、B、C三點.如果AB=AC=BC=2，則球心到平面ABC的距離為（ ）
A．1 B． C． D．2
12．△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊.如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為，那么b=（ ）
A． B． C． D．
題號
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答案
1、設(shè)集合，，則集合中元素的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2、函數(shù)的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
3、記函數(shù)的反函數(shù)為，則（ ）
A． 2 B． C． 3 D．
4、等比數(shù)列中， ，則的前4項和為（ ）
A． 81 B． 120 C．168 D． 192
5、圓在點處的切線方程是（ ）
A． B．
C． D．
6、展開式中的常數(shù)項為（ ）
A． 15 B． C． 20 D．
7、若△ABC的內(nèi)角滿足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，則角A的取值范圍是（�。�
A．（0，） B．（，） C．（，） D．（，p ）
8、設(shè)雙曲線的焦點在軸上，兩條漸近線為，則雙曲線的離心率（ ）
A． 5 B． C． D．
9、不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
10、正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)面均為直角三角形，則此三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
11、在中，，則邊上的高為（ ）
A． B． C． D．
12、4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有（ ）
A． 12 種 B． 24 種 C 36 種 D． 48 種
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