5  數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

一、知識(shí)整合

   1.?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,使用數(shù)形結(jié)合的方法,很多問(wèn)題能迎刃而解,且解法簡(jiǎn)捷。所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象問(wèn)題具體化能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì),它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。

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2.實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,常與以下內(nèi)容有關(guān):①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;②函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系;③曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;④以幾何元素和幾何條件為背景,建立起來(lái)的概念,如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等;⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。

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   3.縱觀多年來(lái)的高考試題,巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題,可起到事半功倍的效果,數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

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   4.?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛,常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中,在求函數(shù)的值域,最值問(wèn)題中,在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問(wèn)題中,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑,而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越,要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí),要爭(zhēng)取胸中有圖,見(jiàn)數(shù)想圖,以開(kāi)拓自己的思維視野。

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二、例題分析

  例1.

    分析:

,

            

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  例2.

   

   

   

   

  

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    法二、數(shù)形結(jié)合解法:

例3.

    A. 1個(gè)           B. 2個(gè)           C. 3個(gè)           D. 1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)

    分析:

出兩個(gè)函數(shù)圖象,易知兩圖象只有兩個(gè)交點(diǎn),故方程有2個(gè)實(shí)根,選(B)。

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  例4.

   

    分析:

         

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 例5.

    分析:

構(gòu)造直線的截距的方法來(lái)求之。

   

   

   

   

截距。

   

   

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 例6.

    分析:

以3為半徑的圓在x軸上方的部分,(如圖),而N則表示一條直線,其斜率k=1,縱截

       

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  例7.

MF1的中點(diǎn),O表示原點(diǎn),則|ON|=(    )

    

    分析:①設(shè)橢圓另一焦點(diǎn)為F2,(如圖),

          又注意到N、O各為MF1、F1F2的中點(diǎn),

    ∴ON是△MF1F2的中位線, 

    ②若聯(lián)想到第二定義,可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo),進(jìn)而求MF1中點(diǎn)的坐標(biāo),最后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|ON|,但這樣就增加了計(jì)算量,方法較之①顯得有些復(fù)雜。

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例8.

    分析:

        

   

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  例9.

    解法一(代數(shù)法):,

   

   

   

   

    解法二(幾何法):

   

      

   

              

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例10.

    分析:

轉(zhuǎn)化出一元二次函數(shù)求最值;倘若對(duì)式子平方處理,將會(huì)把問(wèn)題復(fù)雜化,因此該題用常規(guī)解法顯得比較困難,考慮到式中有兩個(gè)根號(hào),故可采用兩步換元。

    解:

   

   

第一象限的部分(包括端點(diǎn))有公共點(diǎn),(如圖)

   

    相切于第一象限時(shí),u取最大值

   

   

   

 

數(shù)形結(jié)合思想是解答數(shù)學(xué)試題的的一種常用方法與技巧,特別是在解決選擇、填空題是發(fā)揮著奇特功效,復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo),加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練,以提高解題能力和速度。

 

見(jiàn)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

【模擬試題】

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一、選擇題:

  1. 方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為(    )

    A. 1個(gè)           B. 2個(gè)           C. 3個(gè)           D. 4個(gè)

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  2. 函數(shù)的圖象恰有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )

    A.                                   B.

    C.                      D.

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  3. 設(shè)命題甲:,命題乙:,則甲是乙成立的(    )

    A. 充分不必要條件                   B. 必要不充分條件

    C. 充要條件                              D. 不充分也不必要條件

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  4. 適合且的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為(    )

    A. 0個(gè)                  B. 1個(gè)                  C. 2個(gè)           D. 4個(gè)

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  5. 若不等式的解集為則a的值為(     )

    A. 1               B. 2               C. 3               D. 4

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  6. 已知復(fù)數(shù)的最大值為(    )

    A.          B.              C.          D.

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  7. 若時(shí),不等式恒成立,則a的取值范圍為(    )

    A. (0,1)         B. (1,2)         C. (1,2]           D. [1,2]

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  8. 定義在R上的函數(shù)上為增函數(shù),且函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸為,則(    )

    A.                             B.

    C.                    D.

 

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二、填空題:

  9. 若復(fù)數(shù)z滿足,則的最大值為_(kāi)__________。

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  10. 若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,都有,則、由小到大依次為_(kāi)__________。

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  11. 若關(guān)于x的方程有四個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)__________。

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  12. 函數(shù)的最小值為_(kāi)__________。

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  13. 若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是___________。

 

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三、解答題:

  14. 若方程上有唯一解,

    求m的取值范圍。

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  15. 若不等式的解集為A,且,求a的取值范圍。

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  16. 設(shè),試求下述方程有解時(shí)k的取值范圍。

   

【試題答案】

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一、選擇題

  1. C

    提示:畫(huà)出在同一坐標(biāo)系中的圖象,即可。

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  2. D

    提示:畫(huà)出的圖象

    情形1:

    情形2:

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  3. A

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  4. C

    提示:|Z-1|=1表示以(1,0)為圓心,以1為半徑的圓,顯然點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)滿足條件,另外,點(diǎn)O對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)O,因其輻角是多值,它也滿足,故滿足條件的z有兩個(gè)。

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  5. B

    提示:畫(huà)出的圖象,依題意,從而。

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  6. C

    提示:由可知,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以(0,0)為圓心,以2為半徑的圓上,

    而

    表示復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的距離,

    結(jié)合圖形,易知,此距離的最大值為:

   

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  7. C

    提示:令,

    若a>1,兩函數(shù)圖象如下圖所示,顯然當(dāng)時(shí),

    要使,只需使,綜上可知

    當(dāng)時(shí),不等式對(duì)恒成立。

    若,兩函數(shù)圖象如下圖所示,顯然當(dāng)時(shí),不等式恒不成立。

    可見(jiàn)應(yīng)選C

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  8. A

    提示:f(x+2)的圖象是由f(x)的圖象向左平移2個(gè)單位而得到的,又知f(x+2)的圖象關(guān)于直線x=0(即y軸)對(duì)稱(chēng),故可推知,f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),由f(x)在()上為增函數(shù),可知,f(x)在上為減函數(shù),依此易比較函數(shù)值的大小。

 

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二、填空題:

  9.

    提示:|Z|=2表示以原點(diǎn)為原心,以2為半徑的圓,即滿足|Z|=2的復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在圓O上運(yùn)動(dòng),(如下圖),而|z+1-i|=|z-(-1+i)|表示復(fù)數(shù)Z與-1+i對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離。

    由圖形,易知,該距離的最大值為。

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  10.

    提示:由知,f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng),又為二次函數(shù),其圖象是開(kāi)口向上的拋物線,由f(x)的圖象,易知的大小。

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  11.

    提示:設(shè),畫(huà)出兩函數(shù)圖象示意圖,要使方程有四個(gè)不相等實(shí)根,只需使

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  12. 最小值為

    提示:對(duì),聯(lián)想到兩點(diǎn)的距離公式,它表示點(diǎn)(x,1)到(1,0)的距離,表示點(diǎn)(x,1)到點(diǎn)(3,3)的距離,于是表示動(dòng)點(diǎn)(x,1)到兩個(gè)定點(diǎn)(1,0)、(3,3)的距離之和,結(jié)合圖形,易得。

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  13.

    提示:y=x-m表示傾角為45°,縱截距為-m的直線方程,而則表示以(0,0)為圓心,以1為半徑的圓在x軸上方的部分(包括圓與x軸的交點(diǎn)),如下圖所示,顯然,欲使直線與半圓有兩個(gè)不同交點(diǎn),只需直線的縱截距,即。

 

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三、解答題:

  14. 解:原方程等價(jià)于

    令,在同一坐標(biāo)系內(nèi),畫(huà)出它們的圖象,

    其中注意,當(dāng)且僅當(dāng)兩函數(shù)的圖象在[0,3)上有唯一公共點(diǎn)時(shí),原方程有唯一解,由下圖可見(jiàn),當(dāng)m=1,或時(shí),原方程有唯一解,因此m的取值范圍為[-3,0]{1}。

    注:一般地,研究方程時(shí),需先將其作等價(jià)變形,使之簡(jiǎn)化,再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。

 

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  15. 解:令表示以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓在x軸的上方的部分(包括圓與x軸的交點(diǎn)),如下圖所示,表示過(guò)原點(diǎn)的直線系,不等式的解即是兩函數(shù)圖象中半圓在直線上方的部分所對(duì)應(yīng)的x值。

    由于不等式解集

    因此,只需要

    ∴a的取值范圍為(2,+)。

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  16. 解:將原方程化為:,

    ∴

    令,它表示傾角為45°的直線系,

    令,它表示焦點(diǎn)在x軸上,頂點(diǎn)為(-a,0)(a,0)的等軸雙曲線在x軸上方的部分,

    ∵原方程有解,

    ∴兩個(gè)函數(shù)的圖象有交點(diǎn),由下圖,知

   

    ∴

    ∴k的取值范圍為

 

 

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