2009屆貴州省遵義四中高三第五次月考
數(shù)學(理科)
命題人:鄒世海 校對人:羅小林
本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題),滿分150分,考試時間120分鐘.
第Ⅰ卷(選擇題 共60分)
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.復數(shù)的值是 ( )
A.-1 B.
2.tan15°+cot15°的值是 ( )
A.2 B.2+ C.4 D.
3.命題p:若a、b∈R,則是的充分而不必要條件;
命題q:函數(shù)y=的定義域是(-∞,-1∪[3,+∞.則 ( )
A.“p或q”為假 B.“p且q”為真 C.p真q假 D.p假q真
4.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點,過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點,若
△ABF2是正三角形,則這個橢圓的離心率是 ( )
A. B. C. D.
5.已知m、n是不重合的直線,α、β是不重合的平面,有下列命題:
①若mα,n∥α,則m∥n;
②若m∥α,m∥β,則α∥β;
③若α∩β=n,m∥n,則m∥α且m∥β;
④若m⊥α,m⊥β,則α∥β.
其中真命題的個數(shù)是 ( )
A.0 B.
6.某校高三年級共有六個班級,現(xiàn)從外地轉入4名學生,要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名,則不同的安排方案種數(shù)為 ( )
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)y=log2x的反函數(shù)是,則函數(shù)的圖象是 ( )
8.已知、是非零向量且滿足,,則與的夾角是 ( )
A. B. C. D.
9.若展開式的第3項為288,則的值是 ( )
A.2 B.
10.如圖,A、B、C是表面積為48π的球面上三點,
AB=2,BC=4,∠ABC=60°,O為球心,則直線
OA與截面ABC所成的角是( )
A.arcsin B.arccos
C.arcsin D.arccos
11.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當x∈[3,5]時,f(x)=2-|x-4|,則( )
A.f(sin)<f(cos) B.f(sin1)>f(cos1)
C.f(cos)<f(sin) D.f(cos2)>f(sin2)
12.如圖,B地在A地的正東方向
地在B地的北偏東30°方向
的沿岸PQ(曲線)上任意一點到A的距離
比到B的距離遠
選一處M建一座碼頭,向B、C兩地轉運
貨物.經測算,從M到B、M到C修建公
路的費用分別是a萬元/km、
那么修建這兩條公路的總費用最低是( )
A.(2-2)a萬元 B.
C.(2+1) a萬元 D.(2+3) a萬元
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卡的相應位置.
13.直線x+2y=0被曲線x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦長等于 .
14.設函數(shù)在處連續(xù),則實數(shù)的值為 .
15.某射手射擊1次,擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結論:
①他第3次擊中目標的概率是0.9; ②他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1;
③他至少擊中目標1次的概率是1-0.14.
其中正確結論的序號是 (寫出所有正
確結論的序號).
16.如圖1,將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各
切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一
個無蓋的正六棱柱容器.當這個正六棱柱容器的
底面邊長為 時,其容積最大.
三、解答題:本大題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分10分)
已知的周長為,且.
(I)求邊的長;(II)若的面積為,求角的度數(shù).
18.(本小題滿分12分)如圖,轉盤游戲.轉盤被分成8個均勻的扇形區(qū)域.游戲規(guī)則:用力旋轉轉盤,轉盤停止時箭頭A所指區(qū)域的數(shù)字就是游戲所得的點數(shù)(轉盤停留的位置是隨機的).假設箭頭指到區(qū)域分界線的概率為,同時規(guī)定所得點數(shù)為0.某同學進行了一次游戲,記所得點數(shù)為.求的分布列及數(shù)學期望.
19.(本小題滿分12分)
在三棱錐S―ABC中,△ABC是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2,M、N分別為AB、SB的中點.
(Ⅰ)證明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角N―CM―B的大;
20.(本小題滿分12分)設,分別是橢圓:的左,右焦點.
(1)當,且,時,求橢圓C的左,右焦點、.
(2)、是(1)中的橢圓的左,右焦點,已知的半徑是1,過動點作的切線,使得(是切點),如下圖.求動點的軌跡方程.
21.(本小題滿分12分)已知數(shù)列滿足
, ,.
(1)求證:是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列的通項公式;
(3)設,且對于恒成立,求的取值范圍.
22.(本小題滿分12分)已知函數(shù)
(I)當時,若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(II)當時,求證:對任意的,的充要條件是;
09屆遵義四中第五次月考數(shù)學(理科)答案
題 號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
A
B
B
C
B
A
D
D
B
二、填空題:
13. 4 14. 1/2 15. 1,3 16. 2/3
17、解:(I)由題意及正弦定理,得,
,兩式相減,得.
(II)由的面積,得,
由余弦定理,得
,所以.
18.(本小題滿分12分) 解:(1)依題意,隨機變量ξ的取值是0,1,6,8.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=6)= ,P(ξ=8)= .
得分布列: ……6分
(2=.(12分)
19.解法一:(Ⅰ)取AC中點D,連結SD、DB.
∵SA=SC,AB=BC,∴AC⊥SD且AC⊥BD,
∴AC⊥平面SDB,又SB平面SDB,∴AC⊥SB.
(Ⅱ)∵AC⊥平面SDB,AC平面ABC,
∴平面SDB⊥平面ABC.
過N作NE⊥BD于E,NE⊥平面ABC,
過E作EF⊥CM于F,連結NF,則NF⊥CM.
∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.
∵平面SAC⊥平面ABC,SD⊥AC,∴SD⊥平面ABC.
又∵NE⊥平面ABC,∴NE∥SD.
∵SN=NB,∴NE=SD===,且ED=EB.
在正△ABC中,由平幾知識可求得EF=MB=,
在Rt△NEF中,tan∠NFE==2,
∴二面角N―CM―B的大小是arctan2.
解法二:(Ⅰ)取AC中點O,連結OS、OB.
∵SA=SC,AB=BC,
∴AC⊥SO且AC⊥BO.
∵平面SAC⊥平面ABC,平面SAC∩平面 ABC=AC
∴SO⊥面ABC,∴SO⊥BO.
如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.
則A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),
S(0,0,2),M(1,,0),N(0,,).
∴=(-4,0,0),=(0,2,-2),
∵?=(-4,0,0)?(0,2,-2)=0,∴AC⊥SB.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得=(3,,0),=(-1,0,).設n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量,
?n=3x+y=0,
則 取z=1,則x=,y=-,
?n=-x+z=0,
∴n=(,-,1),又=(0,0,2)為平面ABC的一個法向量,
∴cos(n,)==.∴二面角N-CM-B的大小為arccos.
20.(本小題滿分14分)
解:(1)∵,∴.……1分 又∵ ∴,…………2分 ∴.……3分
由橢圓定義可知,,…4分
從而得,,. ∴、. …………6分
(2)∵F1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
由已知:,即,所以有:,設P(x,y), …9分 則,…10分
即(或)
綜上所述,所求軌跡方程為:.…12分
21.(本小題滿分14分)
解:(1)由an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2)
∵a1=5,a2=5 ∴a2+
故數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項,3為公比的等比數(shù)列 …………4分
(2)由(1)得an+1+2an=5?3n 由待定系數(shù)法可得(an+1-3n+1)=-2(an-3n) 即an-3n=2(-2)n-1 故an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n ………8分
(3)由3nbn=n(3n-an)=n[3n-3n+(-2)n]=n(-2)n,∴bn=n(-)n
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=+2()2+3()3+…+n()n
Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1 …………10分
得Sn=+()2+()3+…+()n-n()n+1=-n()n+1=2[1-()n]-n()n+1
∴ Sn=6[1-()n]-3n()n+1<6
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m對于n∈N*恒成立,只須m≥6 …12分
22. (本小題滿分16分
(1)當時,,………………1分
在(―1,1)上為單調遞增函數(shù),在(―1,1)上恒成立…………2分
在(―1,1)上恒成立……………………3分
………………………………………………………4分
(2)設,則
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