湖南大附中0809學(xué)年第一學(xué)期期末考試

    數(shù)  學(xué)(選修11

命題人:朱海棠    審題人:吳錦坤

考生注意:本試卷分選擇題、填空題和解答題三部分,共20個(gè)小題,考試時(shí)間120分鐘,

試卷滿分100分.

.選擇題:本大題共10小題,每小題4分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把各題答案的代號(hào)填寫在答題卷中相應(yīng)的表格內(nèi).

1.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是                                               ( D )

  A.(3,0)           B.(0,3)          C.(1,0)         D.(0,1)

2.給出下列四個(gè)語句:①兩條異面直線有公共點(diǎn);②你是師大附中的學(xué)生嗎?③x∈{1,2,3,4};④方向相反的兩個(gè)向量是共線向量.其中是命題的語句共有                            ( C )

A. 4個(gè)               B. 3個(gè)              C. 2個(gè)              D. 1個(gè)

3.給出下列五個(gè)導(dǎo)數(shù)式:①;②;③;④;⑤.其中正確的導(dǎo)數(shù)式共有                                              ( A )

A.2個(gè)               B. 3個(gè)               C.4個(gè)              D.5個(gè)

4.“a<1”是“”的                                                         ( B )

A. 充分不必要條件                         B. 必要不充分條件

C. 充分必要條件                           D. 既不充分也不必要條件

5.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是                                            ( A )

  A.[0,+∞)         B. [1,+∞)        C.(-∞,0]        D.(-∞,1]

6.下列命題的逆命題為真命題的是                                                    ( C )

A.正方形的四條邊相等                      B.正弦函數(shù)是周期函數(shù)

C.若a+b是偶數(shù),則a,b都是偶數(shù)          D.若x>0,則|x|=x

7.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l,交拋物線于A、B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則|AB|=                                                                        ( B )

A. 6                 B.                C. 10                D. 14

8.給出下列兩個(gè)命題:命題p:是有理數(shù);命題q:若a>0,b>0,則方程表示的曲線一定是橢圓.那么下列命題中為真命題的是                                     ( D )

A.p∧q               B. p∨q             C. (?p)∧q           D. (?p)∨q

9.設(shè)a為非零常數(shù),若函數(shù)處取得極值,則a的值為            ( C )

 A.                       B.               C. -3                    D. 3

10.設(shè)點(diǎn)A為雙曲線的右頂點(diǎn),則點(diǎn)A到該雙曲線的一條漸近線的距離是      ( A )

A.              B.3                 C.               D.

 

二、填空題:本大題共5小題,每小題4分,共20分,把答案填寫在答題卷中相應(yīng)題次后的橫線上.

11.命題“若a>2,則a24”的逆否命題可表述為:a24,則a2 .

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12.拋物線y2=-12x的準(zhǔn)線方程是 x=3 .

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13.設(shè)某物體在時(shí)間t秒內(nèi)所經(jīng)過的路程為s,已知,則該物體在第2秒末的瞬時(shí)速度為 20 m/s.

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14.曲線在點(diǎn)M(π,0)處的切線的斜率是.

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15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M分別與兩定點(diǎn)A(1,0),B(-1,0)的連線的斜率之積為定值m(m≠0),若點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓(除去點(diǎn)A、B),則m的取值范圍是(-1,0;若點(diǎn)M的軌跡是離心率為2的雙曲線(除去點(diǎn)A、B),則m的值為  3  .

 

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三、解答題:本大題共5小題,共40分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

16.(本小題滿分6分)

    已知含有量詞的兩個(gè)命題p和q,其中命題p:任何實(shí)數(shù)的平方都大于零;命題q:二元一次方程2x+y=3有整數(shù)解.

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(Ⅰ)用符號(hào)“”與“”分別表示命題p和q;

(Ⅱ)判斷命題“(?p)∧q”的真假,并說明理由.

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【解】(Ⅰ)命題p:x∈R,x2>0;                                               (1分)

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命題q:x0∈Z且y0∈Z,2x0+y0=3.                                    (3分)

(Ⅱ)因?yàn)楫?dāng)x=0時(shí),x2=0,所以命題p為假命題,從而命題?p為真命題.             (4分)

      因?yàn)楫?dāng)x0=2,y0=-1時(shí),2x0+y0=3,所以命題q為真命題.                     (5分)

      故命題“(?p)∧q”是真命題.                                                                                     (6分)

 

 

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17.(本小題滿分8分)

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   已知函數(shù).

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(Ⅰ)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并指出其單調(diào)性;

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(Ⅱ)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=1處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.

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【解】(Ⅰ).             (1分)

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,得x2-2x-3<0,即(x+1)(x-3)<0,所以0<x<3.                  (2分)

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,得x2-2x-3>0,即(x+1)(x-3)>0,所以x>3.                     (3分)

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在區(qū)間(0,3)上是增函數(shù),在區(qū)間(3,+∞)上是減函數(shù).                       (4分)

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(Ⅱ)因?yàn)?sub>,                           (5分)

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所以切線的方程為,即.                             (6分)

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   從而切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為.                                (7分)

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   故切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積.                     (8分)

 

 

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18.(本小題滿分8分)

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     已知橢圓中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12,離心率為.

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)過橢圓左頂點(diǎn)作直線l,若動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離比它到直線l的距離小4,求點(diǎn)M的軌跡方程.

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【解】(Ⅰ)設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a,半短軸長(zhǎng)為b,半焦距為c.

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   由已知,2a=12,所以a=6.                                                     (1分)

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,即a=3c,所以3c=6,即c=2.                                       (2分)

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于是b2=a2-c2=36-4=32.                                                     (3分)

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   因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.                       (4分)

(Ⅱ)法一:因?yàn)閍=6,所以直線l的方程為x=-6,又c=2,所以右焦點(diǎn)為F2(2,0).  (5分)

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過點(diǎn)M作直線l的垂線,垂足為H,由題設(shè),|MF2|=|MH|-4.

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   設(shè)點(diǎn)M(x,y),則.                         (6分)

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兩邊平方,得,即y2=8x.                                (7分)

故點(diǎn)M的軌跡方程是y2=8x.                                                    (8分)

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   法二:因?yàn)閍=6,c=2,所以a-c=4,從而橢圓左焦點(diǎn)F1到直線l的距離為4.         (5分)

由題設(shè),動(dòng)點(diǎn)M到橢圓右焦點(diǎn)的距離與它到直線x=-2的距離相等,所以點(diǎn)M的軌跡是以右焦點(diǎn)為F2(2,0)為焦點(diǎn),直線x=-2為準(zhǔn)線的拋物線.                                   (7分)

顯然拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),且p=|F1F2|=4,故點(diǎn)M的軌跡方程是y2=8x.        (8分)

 

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19.(本小題滿分8分)

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 某汽車制造廠有一條價(jià)值為60萬元的汽車生產(chǎn)線,現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)能力,進(jìn)而提高產(chǎn)品的增加值.已知投入萬元用于技術(shù)改造,所獲得的產(chǎn)品的增加值為萬元,并且技改投入比率.

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(Ⅰ)求技改投入的取值范圍;

(Ⅱ)當(dāng)技改投入多少萬元時(shí),所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大,其最大值為多少萬元?

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【解】(Ⅰ)由.          (3分)

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故技改投入的取值范圍是(0,50].                                                (4分)

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(Ⅱ)設(shè),. 則

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.                                                (5分)

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,得;由,得.                         (6分)

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所以在區(qū)間(0,40]內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間[40,50]內(nèi)是減函數(shù),從而當(dāng)x=40時(shí)取最大值.                                                                            (7分)

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,故當(dāng)技改投入40萬元時(shí),所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大,其最大值為32000萬元.                                                           (8分)

 

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20.(本小題滿分10分)  

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已知雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,過左焦點(diǎn)F1作傾斜角為30°的直線l,交雙曲線于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn),且AF2⊥x軸,如圖.

(Ⅰ)求雙曲線的離心率;

(Ⅱ)若|AB|=16,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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【解】(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為.

由已知∠AF1F2=30°,∠A F2F1=90°.                                           (1分)

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在Rt△AF2F1中,, .      (3分)

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因?yàn)閨AF1|-|AF2|=2a,所以,即,所以. (5分)

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(Ⅱ)因?yàn)?sub>,所以,從而雙曲線方程化為,

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.                                                            (6分)

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因?yàn)橛医裹c(diǎn)為F2(,0),則直線l的方程為.代人雙曲線方程,得

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,即.                          (7分)

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設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則.                     (8分)

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所以

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.                                                 (9分)

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因?yàn)閨AB|=16,所以a=5,從而.故雙曲線方程是.     (10分)

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