秘密★啟用前
2009年重慶一中高2009級(jí)5月月考
數(shù) 學(xué)(文科)試 題 卷 2009.5
一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1. 如果,那么正確的結(jié)論是( )
A. B. C.{0} D.
2.等于( 。
A. B. C. D.
3.已知平面向量,則向量( 。
A. B. C. D.
4.設(shè)映射是實(shí)數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射,若對(duì)于實(shí)數(shù),在中不存在原象,則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
5.在數(shù)列中,若,且,則( )
A.2007 B.
6.要從10名女生和5名男生中選出6名學(xué)生組成課外興趣小組,如果按性別依比例分層隨機(jī)抽樣,則組成此課外興趣小組的概率為( )
A. B. C. D.
7.已知函數(shù) (是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的反函數(shù)為,則有( )
A. B.
C. D.
8.半徑為1的球面上有三點(diǎn)A、B、C,其中A與B、C兩點(diǎn)間的球面距離均為,B、C兩點(diǎn)間的球面距離為,則球心到平面ABC的距離為( )
A. B. C. D.
9.已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
(A)(,4) (B)(-4,4] (C)( ,-4)∪[2,) (D)[-4,2)
10.已知,若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根可以
分別作為一個(gè)橢圓和雙曲線的離心率,則( )
A. B. C. D.
二.填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
11.的常數(shù)項(xiàng)是 (用數(shù)字作答).
12.在中,,,所對(duì)的邊分別是,,,已知,則 .
13.已知實(shí)數(shù)滿足條件,則的最大值為 ;
14.以橢圓兩焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓交橢圓于四個(gè)不同點(diǎn),順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn),恰好圍成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率等于 ;
15.已知函數(shù)為偶函數(shù),且滿足不等式,則的值為 .
三.解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
16.(本題滿分13分) 已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的周期和最大值;
(Ⅱ)已知,求的值.
17.(本題滿分13分)
(Ⅰ)求乙、丙兩人各自回答對(duì)這道題的概率.
(Ⅱ)求甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對(duì)該題的概率.
18.(本題滿分13分)如圖,已知正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為,為棱上
的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:;
(Ⅱ) 若,求二面角的大。
19.(本題滿分12分)已知函數(shù),函數(shù)的圖像在點(diǎn)的切線方程是.
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20.(本題滿分12分)過(guò)軸上動(dòng)點(diǎn)引拋物線的兩條切線、,、為切點(diǎn).
(Ⅰ)若切線,的斜率分別為和,求證:為定值,并求出定值;
(Ⅱ) 求證:直線恒過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅲ)當(dāng)最小時(shí),求的值.
21.(本題滿分12分)已知數(shù)列中,,,其前項(xiàng)和滿足,令.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)令,求證:
①對(duì)于任意正整數(shù),都有. ②對(duì)于任意的,均存在,使得時(shí),.
2009年重慶一中高2009級(jí)5月月考
數(shù)學(xué)(文科)試題卷答案 2009.5
一、CDDBC;ACBBA.
三.解答題:
16. 解:解:(Ⅰ)
=.∴周期為, 最大值為6 ;
(Ⅱ)由,得.
∴. ∴,
, ∴.
17.解:記“甲回答對(duì)這道題”、“ 乙回答對(duì)這道題”、“丙回答對(duì)這道題”分別為事件、、,則,且有,即
∴(2)由(1),.
則甲、乙、丙三人中恰有兩人回答對(duì)該題的概率為:
18. 解(1)當(dāng)時(shí),取的中點(diǎn),連接,因?yàn)?sub>為正三角形,則,由于為的中點(diǎn)時(shí),∵平面,∴平面,
∴.
(2)當(dāng)時(shí),過(guò)作于,如圖所示,則底面,過(guò)作于,連結(jié),則,為二面角的平面角,又,又,,
二面角的大小為.
19. 解:(Ⅰ),在點(diǎn)處的切線
即,故與表示同一條直線,
,即,,.
(Ⅱ) 由于,
則或,所以函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是
故或或或或,或或,.
20. 解:(Ⅰ)設(shè)過(guò)與拋物線的相切的直線的斜率是,則該切線的方程為:,由得
,是方程的解,故
(Ⅱ)設(shè)由于,故切線的方程是:,又由于點(diǎn)在上,則
則,
,同理
則直線的方程是,則直線過(guò)定點(diǎn).
(Ⅲ)要使最小,就是使得到直線的距離最小,
而到直線的距離,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào). 設(shè)
由得,則
.
21. 解:(Ⅰ)由題意知即
檢驗(yàn)知時(shí),結(jié)論也成立故.
① 由于
②若,其中,則有,則,
故,
取(其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)),則當(dāng)時(shí),. 即到平面的距離為.
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