已知公比為q（q≠1）的無窮等比數列{a_n}的首項a₁=1．
（1）若q=

1

3

，在a₁與a₂之間插入k個數b₁，b₂，…，b_k，使得a₁，b₁，b₂，…，b_k，a₂，a₃成等差數列，求這k個數；
（2）對于任意給定的正整數m，在a₁，a₂，a₃的a₁與a₂和a₂與a₃之間共插入m個數，構成一個等差數列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）當且僅當q取何值時，在數列{a_n}的每相鄰兩項a_k，a_k+1之間插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）個數，使之成為一個等差數列？并求c₁的所有可能值的集合及{c_n}的通項公式（用q表示）．

已知函數f（x）=

x

4

+

a

x

-lnx-

3

2

，其中a∈R，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線y=

1

2

x．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

已知數列{a_n}是公差不為零的等差數列，a₁=2，且a₂，a₄，a₈成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項；
（Ⅱ）設{b_n-（-1）ⁿa_n}是等比數列，且b₂=7，b₅=71，求數列{b_n}的前n項和T_n．

已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，

OA

+

OB

與

a

=（2，-1）共線．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設M為橢圓上任意一點，且

OM

=λ

OA

+μ

OB

（λ，μ∈R），證明λ²+μ²-

2

3

λμ為定值．

已知函數f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），f′（x）為其導函數，且x=3時f（x）有極小值-9．
（1）求f（x）的單調遞減區(qū)間；
（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m-8）x+6m+1，h（x）=mx，當m＞0時，對于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一個是正數，求實數m的取值范圍；
（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4（k為正整數）對任意正實數x恒成立，求k的最大值．

已知函數f（x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范圍．

已知函數f（x）=

1

3

x³+

1-a

2

x²-ax-a，x∈R，其中a＞0．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（-3，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（3）當a=1時，設函數f（x）在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t），記g（t）=M（t）-m（t），求函數g（t）在區(qū)間[-4，-1]上的最小值．

已知橢圓E：

x2

m2

+

y2

n2

=1過點A（-1，0）和點B（1，0），其中一個焦點與拋物線y=

2

8

x²的焦點重合，C為E上異于頂點的任一點．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E所在平面上的兩點M，G同時滿足：①

.

GA

+

.

GB

+

.

GC

=

.

0

；②|

.

MA

|=|

.

MB

|=|

.

MC

|．試問直線MG的斜率是否為定值，若為定值求出該定值；若不為定值，請說明理由．

先將函數f（x）=cos（2x+

3π

2

）的圖象上所有的點都向右平移

π

12

個單位，再把所有的點的橫坐標都伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象．
（1）求函數g（x）的解析式和單調遞減區(qū)間；
（2）若A為三角形的內角，且g（A）=

1

3

，求f（

A

2

）的值．

在極坐標系中，曲線C：ρ=2cosθ．以極點為原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為

x= 2 2 t y= 2 2 t

（t為參數），直線l與曲線C分別交于點M，N．寫出曲線C的直角坐標方程并求出線段MN的長度．