Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且x=3時f（x）有極小值-9．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若g（x）=2mf′（x）+（6m-8）x+6m+1，h（x）=mx，當(dāng)m＞0時，對于任意x，g（x）和h（x）的值至少有一個是正數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若不等式f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4（k為正整數(shù)）對任意正實數(shù)x恒成立，求k的最大值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的極小值，求出a，b的值，進(jìn)而可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求出g（x）=2mf′（x）+（6m-8）x+6m+1的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論圍；
（3）利用參數(shù)分離法，將不等式轉(zhuǎn)化為求參數(shù)的最值問題．

解答： 解：（1）由f'（x）=3ax²-2x+b，因為函數(shù)在x=3時有極小值-9，
所以

27a-6+b=0 27a-9+3b=-9

，從而解得a=

1

3

，b=-3，
所求的f(x)=

1

3

x3-x2-3x，所以f'（x）=x²-2x-3，
由f'（x）＜0解得-1＜x＜3，
所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，3），
（2）由f'（x）=x²-2x-3，故g（x）=2mx²+（2m-8）x+1，
當(dāng)m＞0時，若x＞0，則h（x）=mx＞0，滿足條件；
若x=0，則g（0）=1＞0，滿足條件；
若x＜0，g（x）=2mx²+（2m-8）x+1，
①如果對稱軸x₀=

4-m

2m

≥0，即0＜m≤4時，g（x）的開口向上，
故在（-∞，x₀]上單調(diào)遞減，又g（0）=1，所以當(dāng)x＜0時，g（x）＞0 
②如果對稱軸x₀=

4-m

2m

＜0，即4＜m時，△=（2m-8）²-8m＜0
解得2＜m＜8，故4＜m＜8時，g（x）＞0；
所以m的取值范圍為（0，8）；
（3）因為f′（x）=x²-2x-3，
所以f′（x）＞k（xlnx-1）-6x-4等價于x²+4x+1＞k（xlnx-1），即x+

k+1

x

+4-klnx＞0，
記φ(x)=x+

k+1

x

+4-klnx，則φ/(x)=1-

k+1

x2

-

k

x

=

(x+1)(x-k-1)

x2

，
由φ′（x）＞0，得x＞k+1，
所以φ（x）在（0，k+1）上單調(diào)遞減，在（k+1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以φ（x）≥φ（k+1）=k+6-kln（k+1），
φ（x）＞0對任意正實數(shù)x恒成立，等價于k+6-kln（k+1）＞0，即1+

6

k

-ln(k+1)＞0，
記m(x)=1+

6

x

-ln(x+1)，則m/(x)=-

6

x2

-

1

x+1

＜0，
所以m（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又m(6)=2-ln7＞0，m(7)=

13

7

-ln8＜0，
所以k的最大值為6．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．