已知橢圓E：
x2
m2
+
y2
n2
=1過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（1，0），其中一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)y=
2
8
x2的焦點(diǎn)重合，C為E上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E所在平面上的兩點(diǎn)M，G同時(shí)滿(mǎn)足：①
.
GA
+
.
GB
+
.
GC
=
.
0
；②|
.
MA
|=|
.
MB
|=|
.
MC
|．試問(wèn)直線(xiàn)MG的斜率是否為定值，若為定值求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：圓錐曲線(xiàn)的綜合
專(zhuān)題：向量與圓錐曲線(xiàn)
分析：（Ⅰ）化拋物線(xiàn)方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，由題意得到橢圓的長(zhǎng)半軸，再由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)焦點(diǎn)重合得到橢圓的半焦距，結(jié)合隱含條件得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo)，由①②可知G為三角形重心，M為三角形外心，把G點(diǎn)坐標(biāo)用C點(diǎn)坐標(biāo)表示，再設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，由|
.
MA
|=|
.
MC
|得到B，C坐標(biāo)的關(guān)系，結(jié)合C點(diǎn)在橢圓上可得M的坐標(biāo)，則MG所在直線(xiàn)斜率可求．
解答： 解：（Ⅰ）由y=
2
8
x2，得x2=4
2
y，
∴拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，
2
)，
由題意知m2=1，
又c=
2
，
∴n2=m2+(
2
)2=1+2=3，
∴橢圓E的方程為x2+
y2
3
=1；
（Ⅱ）設(shè)C（x0，y0），
由
.
GA
+
.
GB
+
.
GC
=
.
0
可知G為△ABC的重心，
則G(
x0
3
，
y0
3
)．
由|
.
MA
|=|
.
MB
|=|
.
MC
|知M為△ABC的外心，
故設(shè)M（0，y1），
由|
.
MA
|=|
.
MC
|，得1+y12=x02+(y0-y1)2，
整理得：x02+y02-2y0y1=1．
又x02+
y02
3
=1，
∴
2
3
y02-2y0y1=0．
∴y0=3y1，
則M（0，
y0
3
）．
∴kMG=0．
即直線(xiàn)MG的斜率是定值0．
點(diǎn)評(píng)：本題是圓錐曲線(xiàn)的綜合題，考查橢圓方程的求法，考查了由向量關(guān)系判斷三角形的重心和外心，體現(xiàn)了整體代換思想方法，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

“p∧q是假命題”是“￢p為真命題”的（　　）
A、必要不充分條件
B、充分不必要條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的右頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的距離的和為
3b
2
，則雙曲線(xiàn)的離心率為（　�。�
A、
3
2
B、
5
3
C、2
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12．一質(zhì)點(diǎn)從頂點(diǎn)A射向點(diǎn)E（4，3，12），遇長(zhǎng)方體的面反射（反射服從光的反射原理），將第i-1次到第i次反射點(diǎn)之間的線(xiàn)段記為li（i=2，3，4），l1=AE，將線(xiàn)段l1，l2，l3，l4豎直放置在同一水平線(xiàn)上，則大致的圖形是（　�。�
A、
B、
C、
D、

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在△ABC中，已知D為BC邊上的中點(diǎn)，且cosB=
5
13
，cos∠ADC=-
3
5
．
（1）求sin∠BAD的值；
（2）若AD=5，求邊AC的長(zhǎng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1=2，且a2，a4，a8成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）設(shè){bn-（-1）nan}是等比數(shù)列，且b2=7，b5=71，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a1=1，a1+
a2
2
+
a3
3
+…+
an
n
=2n-1（n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn；
（Ⅱ）若存在n∈N*，使得an≤n（n+1）λ成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線(xiàn)C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|=
5
4
|PQ|．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過(guò)F的直線(xiàn)l與C相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線(xiàn)l′與C相交于M、N兩點(diǎn)，且A、M、B、N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，已知a1=4，an+1=3an-4n+2（n∈N*）．
（Ⅰ）記bn=an-2n，試判斷數(shù)列求數(shù)列{bn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？并證明你的判斷；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案