如圖，AB，CD為圓O的兩條直徑，P為圓O所在平面外的一點，且PA=PB=PC
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥圓O所在平面；
（Ⅱ）若AP⊥BP，∠BAC=

π

6

，求二面角A-PB-C的余弦值．

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前四項和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)T_n為數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項和，若2T_n＜λ對n∈N^*恒成立，求整數(shù)λ的最小值．

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面EAC？若存在，試求出PF的值，若不存在，請說明理由．

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x+3|
（1）若a=2，解不等式f（x）＜7；
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

已知a，b，c均為正實數(shù)，且a+b+c=1．求

4a+1

+

4b+1

+

4c+1

的最大值．

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且

sinA

a

=

3 cosB

b

．
（1）求角B的大小；
（2）如果b=2，求△ABC面積的最大值．

為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)間是：[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）[40，45]
（Ⅰ）求圖中x的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)；
（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取5名參加中心廣場的宣傳活動，再從這5名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責(zé)人，求這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)大于1的概率．

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a²+c²-b²=

2 3

3

acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=

3

，且A∈（

π

6

，

π

2

），求邊長c的取值范圍．

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC取得最大值時三角形的形狀．

在平面直角坐標系xOy中，已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，雙曲線G與拋物線y²=-4x有一個公共的焦點，且過點（-

6

2

，1）
（Ⅰ）求雙曲線G的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與雙曲線G相切于第一象限上的一點P，連接PF₁，PF₂，設(shè)l的斜率為k，直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，試證明

1

kk1

+

1

kk2

為定值，并求出這個定值；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）問的條件下，作F₂Q⊥F₂P，設(shè)F₂Q交l于點Q，證明：當點P在雙曲線右支上移動時，點Q在一條定直線上．