Question

如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=

2

，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面EAC？若存在，試求出PF的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，判斷出AB=AD=AC=1，進而在△PAB中，推斷出PA²+AB²=PB²，可知PA⊥AB，同理也可證明出PA⊥AD，進而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）設點F是棱PC上的一點，則

PF

，

BP

可表示出來，以A為坐標原點，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，直線AD、AP分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，求出平面EAC的法向量要使BF∥平面EAC，需滿足

BF

⊥n，從而

BF

•n=0，建立等式求得λ，故F為棱PC的中點時，BF∥平面EAC，并能求得此時F點的坐標，進而求得

PF

的模即為PF的值．

解答： （Ⅰ）證明：∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=AC=1，
∵在△PAB中，PA=AB=1，PB=

2

，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，
同理可知PA⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：設點F是棱PC上的一點，

PF

=λ

PC

=（

3

2

•λ，

1

2

λ，-λ），其中0＜λ＜1，

BP

=（-

3

2

，

1

2

，1），則

BF

=（

3

2

λ-

3

2

，

1

2

λ+

1

2

，-λ+1），
以A為坐標原點，過A點垂直于平面PAD的直線為x軸，直線AD、AP分別為y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（

3

2

，-

1

2

，0），C（

3

2

，

1

2

，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（0，

2

3

，

1

3

），
則

AC

=（

3

2

，

1

2

，0），

AE

=（0，

2

3

，

1

3

），
設平面EAC的法向量為n=（x，y，z），

n• AC =0 n• AE =0

，得

3 2 x+ 1 2 y=0 2 3 y+ 1 3 z=0

，
令x=1，則y=-

3

，z=2

3

，
故n=（1，-

3

，2

3

），
即平面EAC的法向量為n=（1，-

3

，2），
要使BF∥平面EAC，需滿足

BF

⊥n，從而

BF

•n=0，
即有

3

2

λ-

3

2

-

3

2

λ-

3

2

-2

3

λ+2

3

=0，
解得λ=

1

2

，故F為棱PC的中點時，BF∥平面EAC，
此時F點的坐標為（

3

4

，

1

4

，

1

2

），

PF

=（

3

4

，

1

4

，-

1

2

），
∴PF的值為|

PF

|=

3 16 + 1 16 + 1 4

=

2

2

．

點評：本題主要考查了直線平面的垂直的判定定理，法向量的應用，向量的運算等知識．綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力．