Question

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）求sinB+sinC取得最大值時三角形的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中角的正弦轉(zhuǎn)換成邊，整理即可根據(jù)余弦定理求得cosA的值，進(jìn)而求得A．
（Ⅱ）把A=120°帶入sinB+sinC利用兩角和公式整理，最后利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求得其取最大值時B的度數(shù)，進(jìn)而判斷三角形的形狀．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得2a²=（2b+c）b+（2c+b）c，
即   a²=b²+c²+bc，
由余弦定理得  a²=b²+c²-2bcosA，
故 cosA=-

1

2

，
∴A=120°                         
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°-B）=

3

2

cosB+

1

2

sinB=sin（B+60°），
故當(dāng)B=30°時，sinB+sinC取得最大值1，三角形為等腰鈍角三角形．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．在解三角形問題中長利用正弦定理和余弦定理完成邊角問題的互化．