Question

如圖，AB，CD為圓O的兩條直徑，P為圓O所在平面外的一點，且PA=PB=PC
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥圓O所在平面；
（Ⅱ）若AP⊥BP，∠BAC=

π

6

，求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出△OPA≌△OPB≌△OPC，從而得到∠POA=∠POB=∠POC=

π

2

，由此能證明PO⊥圓O所在平面，從而得到平面PAB⊥圓O所在平面．
（Ⅱ）連接AC，BC，過C作CE⊥AB，垂足為E，過E作EF⊥BP，垂足為F，連接CF，由已知條件推導出∠EFC是二面角A-BP-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵AB，CD為圓O的兩條直徑，
P為圓O所在平面外的一點，且PA=PB=PC，
OP=OP=OP，
∴△OPA≌△OPB≌△OPC，
∴∠POA=∠POB=∠POC，
又∵∠POA+∠POB=π，
∴∠POA=∠POB=∠POC=

π

2

，
∵PO⊥AO，PO⊥CO，AO∩CO=O，
AO?圓O所在平面，CO?圓O所在平面，
∴PO⊥圓O所在平面，
∵PO?平面PAB，
∴平面PAB⊥圓O所在平面．
（Ⅱ）解：連接AC，BC，過C作CE⊥AB，垂足為E，
過E作EF⊥BP，垂足為F，連接CF，
由（Ⅰ）知PO⊥圓O所在平面，
∴PO⊥CE，
又∵AB⊥CE，PO∩AB=O，
∴CE⊥平面PAB，∴CE⊥BP，
又∵EF⊥BP，CE∩EF=E，∴BP⊥平面CEF，
∴BP⊥CF，BP⊥EF，
∴∠EFC是二面角A-BP-C的平面角，
設AB=2a，∵AB為圓O直徑，C在圓O上，
∴AC⊥BC，又∵∠BAC=

π

6

，
∴AC=

3

a，BC=a，
又∵CE⊥AB，∠CBA=

π

3

，∴BE=

1

2

a，
∵AP⊥BP，AP=BP，∴△APB為等腰直角三角形，∴∠BAP=45°，
∴EF=

1

2

asin

π

4

=

2

4

a，
∴tan∠EFC=

CE

EF

=

3 2 a

2 4 a

=

6

，
∴cos∠EFC=

7

7

，
∴二面角A-PB-C的余弦值是

7

7

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．