Question

以下所給的命題中：
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②垂直于同一直線的兩條直線相互平行；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得

c

=（2，3）；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)．
⑤曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
其中真命題的序號(hào)為

 

．（寫出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，利用雙曲線定義可知：只有當(dāng)k＜|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線；
②垂直于同一直線的兩條直線可能相互平行、相交或?yàn)楫惷嬷本�；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得到的仍然是向量

a

；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)(±

34

，0)；
⑤把（-x，-y）代入曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0得到曲線的方程沒有變化，可得：此曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

解答： 解：①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn)，k為非零常數(shù)，|

PA

|-|

PB

|=k，只有當(dāng)k＜|AB|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線，因此不正確；
②垂直于同一直線的兩條直線相互平行、相交或?yàn)楫惷嬷本�，因此不正確；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得到的仍然是向量

a

，而不是

c

=（2，3），因此不正確；
④雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1與橢圓

x2

35

+y2=1有相同的焦點(diǎn)(±

34

，0)，正確；
⑤把（-x，-y）代入曲線x³-y³+9x²y+9xy²=0得到-x³+y³-9x²y-9xy²=0，化為x³-y³+9x²y+9xy²=0，因此曲線的方程沒有變化，可得：此曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．因此正確．
綜上可知：只有④⑤正確．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了圓錐曲線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、空間中線線位置關(guān)系、曲線的對(duì)稱性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力，屬于難題．