Question

已知點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)Q在曲線C：y²=2x上．
（1）若點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)，且|PQ|=2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）求|PQ|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式可得|PQ|=

(x-2)2+y2

=2，聯(lián)立即可解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
（2）|PQ|=

(x-2)2+y2

，其中y²=2x．可得|PQ|²=（x-2）²+2x=x²-2x+4=（x-1）²+3（x≥0）利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：設(shè)Q（x，y）（x＞0，y＞0），y²=2x
（1）由已知條件得|PQ|=

(x-2)2+y2

=2…（2分）
將y²=2x代入上式，并變形得，x²-2x=0，解得x=0（舍去）或x=2…（4分）
當(dāng)x=2時(shí)，y=±2
只有x=2，y=2滿足條件，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，2）…（6分）
（2）|PQ|=

(x-2)2+y2

其中y²=2x…7分
|PQ|²=（x-2）²+2x=x²-2x+4=（x-1）²+3（x≥0）…（10分）
當(dāng)x=1時(shí)，|PQ|min=

3

…（12分）
（不指出x≥0，扣1分）

點(diǎn)評：本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性、方程的思想方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．