Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，設AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）設D是B₁C₁上的任意一點，求D到平面A₁BC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由題設條件推導出∠A₁BC=60°，從而得到△A₁BC為等邊三角形，由此能求出a．
（2）由題設條件推推導出點D到平面A₁BC的距離等于點B₁到平面A₁BC的距離．由此利用等積法能求出D到平面A₁BC的距離．

解答： （本題滿分12分） 本題共有2個小題，第1小題滿分（6分），第2小題滿分（6分）．
（1）解：∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是異面直線A₁B與B₁C₁所成的角，
∵異面直線A₁B與B₁C₁所成的角等于60°，∴∠A₁BC=60°，
又連接A₁C，AB=AC，則A₁B=A₁C，
∴△A₁BC為等邊三角形，
由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=

2

，
∴A1B=

2

，∴

1+a2

=

2

，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁在平面A₁BC外，BC?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC，又∵D是B₁C₁上的任意一點，
所以點D到平面A₁BC的距離等于點B₁到平面A₁BC的距離．
設其為d，連接B₁C，
則由三棱錐B₁-A₁BC的體積等于三棱錐C-A₁B₁B的體積，求d，
△A₁B₁B的面積S=

1

2

，△A₁BC的面積S′=

3

4

•(

2

)2=

3

2

，
∴

1

3

•S•AC=

1

3

•S′•d，解得d=

3

3

，
即D到平面A₁BC的距離等于

3

3

．

點評：本題考查線段長的求法，考查點到直線的距離的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．