Question

已知雙曲線x²-y²=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；

(2)過雙曲線的左焦點(diǎn)F₁，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，期中，F(xiàn)₂是雙曲線的右焦點(diǎn)，求△F₂MN的面積S關(guān)于傾斜角的表達(dá)式。

 

Answer 1

【答案】

(1)(可以寫出范圍：或)，不寫也不扣分)；

(2)

【解析】

試題分析：(1) 這類問題基本方法是設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程化簡后可得，同時(shí)設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，又，即，再代入即得出所求中點(diǎn)軌跡方程；對于求圓錐曲線中點(diǎn)軌跡方程，我們還可以采取設(shè)而不求的方法，即設(shè)，中點(diǎn)，只要把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，所得兩式相減，即可得出與的關(guān)系，前者是直線的斜率，后者正是點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，由此可很快得到所求軌跡方程；(2) 設(shè)，，由于，因此，而可以用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去可得的一元二次方程，從這個(gè)方程可得，從而得三角形面積，但要注意當(dāng)直線斜率不存在時(shí)需另外求．

試題解析：（1）解法1：設(shè)直線方程為，

代入雙曲線方程得：， 2分

由得.設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則有；又由韋達(dá)定理知：， 4分

 所以，即得點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.    5分

注：或，點(diǎn)的軌跡為兩條不包括端點(diǎn)的射線.

 解法2：設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則有，，兩式相減得：（*）.  2分

又因?yàn)橹本�的斜率為2，所以，再由線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，得

.  4分

代入（*）式即得點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程.      5分

（2），，直線與軸垂直時(shí)，，此時(shí)，△的面積=.          6分

直線與軸不垂直時(shí)，直線方程為，          7分

設(shè)，

解法1：將代入雙曲線，整理得：，即

          9分

所以，          10分

=.          13分

所以，.         14分

解法2：參見理科解法2。

考點(diǎn)：(1)圓錐曲線弦的中點(diǎn)軌跡方程；(2)直線與圓錐曲線相交弦長與三角形面積．