Question

已知雙曲線x²-y²=2若直線n的斜率為2 ，直線n與雙曲線相交于A、B兩點，線段AB的中點為P，

(1)求點P的坐標（x,y)滿足的方程（不要求寫出變量的取值范圍）；

(2)過雙曲線的左焦點F₁，作傾斜角為的直線m交雙曲線于M、N兩點，期中，F(xiàn)₂是雙曲線的右焦點，求△F₂MN的面積S關(guān)于傾斜角的表達式。

 

Answer 1

【答案】

(1)(可以寫出范圍：或)，不寫也不扣分)；

(2)

【解析】

試題分析：(1) 這類問題基本方法是設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程化簡后可得，同時設(shè)中點坐標為，則有，又，即，再代入即得出所求中點軌跡方程；對于求圓錐曲線中點軌跡方程，我們還可以采取設(shè)而不求的方法，即設(shè)，中點，只要把兩點坐標代入圓錐曲線方程，所得兩式相減，即可得出與的關(guān)系，前者是直線的斜率，后者正是點坐標的關(guān)系，由此可很快得到所求軌跡方程；(2) 設(shè)，，由于，因此，而可以用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，消去可得的一元二次方程，從這個方程可得，從而得三角形面積，但要注意當直線斜率不存在時需另外求．

試題解析：（1）解法1：設(shè)直線方程為，

代入雙曲線方程得：， 2分

由得.設(shè)、兩點坐標分別為、，則有；又由韋達定理知：， 4分

 所以，即得點的坐標所滿足的方程.    5分

注：或，點的軌跡為兩條不包括端點的射線.

 解法2：設(shè)、兩點坐標分別為、，則有，，兩式相減得：（*）.  2分

又因為直線的斜率為2，所以，再由線段中點的坐標，得

.  4分

代入（*）式即得點的坐標所滿足的方程.      5分

（2），，直線與軸垂直時，，此時，△的面積=.          6分

直線與軸不垂直時，直線方程為，          7分

設(shè)，

解法1：將代入雙曲線，整理得：，即

          9分

所以，          10分

=.          13分

所以，.         14分

解法2：參見理科解法2。

考點：(1)圓錐曲線弦的中點軌跡方程；(2)直線與圓錐曲線相交弦長與三角形面積．