Question

已知雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，雙曲線在第一象限的圖象上有一點(diǎn)P，∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ，則（　　）

• A、tanα+tanβ+tanγ=0
• B、tanα+tanβ-tanγ=0
• C、tanα+tanβ+2tanγ=0
• D、tanα+tanβ-2tanγ=0

Answer 1

分析：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），tanα=

y

x+a

，-tanβ=

y

x-a

，由x²-y²=a²得

y2

x2-a2

=1，所以-tanαtanβ=1，tanγ=-tan（α+β）=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-

1

2

(tanα+tanβ)，故tanα+tanβ+2tanγ=0．

解答：解：A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
PA的斜率tanα=

y

x+a

，①
PB的斜率-tanβ=

y

x-a

，∴tanβ=-

y

x-a

，②
由x²-y²=a²得

y2

x2-a2

=1，
①×②，得-tanαtanβ=1，
tanγ=tan[π-（β+α）]=-tan（α+β）=-

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=-

1

2

(tanα+tanβ)，
∴tanα+tanβ+2tanγ=0．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意三角函數(shù)的合理運(yùn)用．