Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)點(diǎn)F₂的動(dòng)直線與雙曲線相交于A，B兩點(diǎn)．若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程；

Answer 1

分析：由題意知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），則

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，，

F1O

=(2，0)，由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

得

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(

x-4

2

，

y

2

)．當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-y 2 -2

=

y

x-8

，由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線x²-y²=2上，知（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，由此可知點(diǎn)M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．

解答：解：由題意知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
則

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，

F1O

=(2，0)，
由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

得

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，
∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)(

x-4

2

，

y

2

)．
當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-y 2 -2

=

y

x-8

，①
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在雙曲線x²-y²=2上，
∴x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
∴（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，②
由①②聯(lián)立，知（x-6）²-y²=4．
當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（8，0）也滿(mǎn)足上求方程，
∴點(diǎn)M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．