分析 作出正四面體的圖形,確定球的球心位置為O,說明OE是內(nèi)切球的半徑,運(yùn)用勾股定理計(jì)算,即可得到球的體積.
解答 解:如圖O為正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心,
正四面體的棱長為a,OE為內(nèi)切球的半徑,設(shè)OA=OB=R,
在等邊三角形BCD中,BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a,
AE=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a.
由OB2=OE2+BE2,即有R2=($\frac{\sqrt{6}}{3}$a-R)2+($\frac{\sqrt{3}}{3}$a)2,
解得,R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a.OE=AE-R=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a,
則其內(nèi)切球的半徑是$\frac{\sqrt{6}}{12}$a,
內(nèi)切球的體積為$\frac{4}{3}$π×($\frac{\sqrt{6}}{12}$a)3=$\frac{\sqrt{6}}{216}π{a}^{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查正四面體的內(nèi)切球半徑的求法,內(nèi)切球的半徑是正四面體的高的$\frac{1}{4}$,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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