Question

9．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$=2S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$（n∈N⁺），T_n=b₁+b₂+…+b_n，求證：T_n$＜\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 （1）a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$=2S_n，利用遞推關系化為（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，可得a_n+1-a_n=1．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）n=1時，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1$＜\frac{5}{3}$．當n≥2時，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．即可證明．

解答 （1）解：∵a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$=2S_n，∴當n=1時，${a}_{1}^{2}+{a}_{1}=2{a}_{1}$，又a₁＞0，解得a₁=1．
又${a}_{n+1}^{2}+{a}_{n+1}=2{S}_{n+1}$，∴${a}_{n+1}^{2}+{a}_{n+1}$-（a${\;}_{n}^{2}+{a}_{n}$）=2a_n+1，
化為（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，
∵?∈N^*，a_n＞0，可得a_n+1-a_n=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1，a_n=1+（n-1）=n．
（2）證明：n=1時，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}^{2}}$=1$＜\frac{5}{3}$．當n≥2時，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{4{n}^{2}-1}$=2$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n＜1+2$[（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=1+2$（\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}）$＜$\frac{5}{3}$-$\frac{2}{2n+1}$．
∴T_n$＜\frac{5}{3}$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、等差數(shù)列的通項公式、“放縮法”、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．