Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不等的根，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若存在，當(dāng)時，恒有，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）求，令，解不等式求x的范圍得單調(diào)區(qū)間。（2）構(gòu)造函數(shù)，再求，從而得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不等的根，所以，解不等式組求出實數(shù)的取值范圍；（3）構(gòu)造函數(shù)，要使存在，當(dāng)時，恒有，因為，所以只須即可。也就是存在，當(dāng)時函數(shù)是單調(diào)遞增的，求導(dǎo)得，只須在時成立。解得k的范圍。

試題解析：（1）因為函數(shù)的定義域為，且，

令，即

解之得

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）令，且定義域為所以

令，，列表如下：

		1
	+	0	-
	遞增	極大值	遞減

所以函數(shù)在區(qū)間先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，故要使有兩個不等的根，

只須 即

所以

（3）令，且

要使存在，當(dāng)時，恒有，則只須即可，也就是存在，當(dāng)時函數(shù)是單調(diào)遞增的，

又因為，只須在時成立，即，解得，所以的取值范圍是.