【題目】如圖①，在中，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.固定邊，在平面內(nèi)移動(dòng)頂點(diǎn)，使得圓分別與邊，的延長(zhǎng)線相切，并始終與的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)，記頂點(diǎn)的軌跡為曲線.以所在直線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖②所示.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，分別交曲線于點(diǎn)，，設(shè)，，求的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意得出，利用橢圓的定義，即可判定C點(diǎn)的軌跡，得到橢圓的方程；

（2）設(shè)，，，得到，由，求得，當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)得，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程并整理得，利用根與系數(shù)的關(guān)系，化簡(jiǎn)得，即可求解.

（1）由題意得，，

設(shè)動(dòng)圓與邊的延長(zhǎng)線相切于點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，

則，，，

所以 ，

所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，且挖去長(zhǎng)軸的兩個(gè)頂點(diǎn)，

則曲線的方程為.

（2）設(shè)，，，由題意得，

則，.

由，得，即.

當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，直線的方程為，即，

代入橢圓的方程并整理得，

則有，即，故.

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，，顯然成立.

同理可得.

設(shè)直線的方程為，

代入橢圓的方程并整理得.

由題意得，

解得.

又，

所以 .

由，得，

故的取值范圍為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某食品廠為了檢查甲乙兩條自動(dòng)包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量（單位：克），質(zhì)量值落在（495，510]的產(chǎn)品為合格品，否則為不合格品．表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表，圖是乙流水線樣本頻率分布直方圖．

表甲流水線樣本頻數(shù)分布表

產(chǎn)品質(zhì)量/克

頻數(shù)

（490，495]

6

（495，500]

8

（500，505]

14

（505，510]

8

（510，515]

4

（1）若以頻率作為概率，試估計(jì)從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品，該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少；

（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出2×2列聯(lián)表，并回答能否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動(dòng)包裝流水線的選擇有關(guān)”

χ2

甲流水線

乙流水線

總計(jì)

合格品

不合格品

總計(jì)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若對(duì)于區(qū)間上的任意，都有，則實(shí)數(shù)的最小值是(　　)

A. 20B. 18

C. 3D. 0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線2x﹣y﹣1＝0與直線x﹣2y+1＝0交于點(diǎn)P．

（1）求過(guò)點(diǎn)P且垂直于直線3x+4y﹣15＝0的直線l1的方程；（結(jié)果寫(xiě)成直線方程的一般式）

（2）求過(guò)點(diǎn)P并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線l2方程（結(jié)果寫(xiě)成直線方程的一般式）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)（， 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)， .若存在，且為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù)f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．

（1）若y＝f（x）在x＝2處的切線與y垂直，求a的值；

（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

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【題目】2019年4月，甲乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考，現(xiàn)從這兩校參加考試的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷，并將這40份試卷的得分制作成如下的莖葉圖．

（1）試通過(guò)莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；

（2）若把數(shù)學(xué)成績(jī)不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，判斷是否有90的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?00分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān)；

（3）若從這40名學(xué)生中選取數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生，用分層抽樣的方式從甲乙兩校中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人分析其失分原因，求這3人中恰有2人是乙校學(xué)生的概率．

參考公式與臨界值表：，其中．

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C由圓弧C1和圓弧C2相接而成,兩相接點(diǎn)M,N均在直線x=5上.圓弧C1的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為13;圓弧C2過(guò)點(diǎn)A(29,0).

(1)求圓弧C2的方程.

(2)曲線C上是否存在點(diǎn)P,滿足PA=PO?若存在,指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓分別交于兩點(diǎn)，且，試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．

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