【題目】已知函數(shù)f(x)=a(x2﹣1)﹣lnx.
(1)若y=f(x)在x=2處的切線與y垂直,求a的值;
(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(1);(2) .
【解析】
(1)f(x)的定義域為(0,+∞),令f'(2)=0,解得a;
(2),對a分類討論,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.
(1)∵f(x)的定義域為(0,+∞),,
∴f'(2)=0,即.
(2)∵,
①當(dāng)a≤0時,f'(x)<0,∴f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴當(dāng)x>1時,f(x)<f(1)=0矛盾.
②當(dāng)a>0時,,
令f'(x)>0,得;f'(x)<0,得.
(i)當(dāng),即時,時,f'(x)<0,即f(x)遞減,
∴f(x)<f(1)=0矛盾.
(ii)當(dāng),即時,x∈[1,+∞)時,f'(x)>0,即f(x)遞增,
∴f(x)≥f(1)=0滿足題意.
綜上:.
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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為且橢圓上存在一點,滿足.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知分別是橢圓的左、右頂點,過的直線交橢圓于兩點,記直線的交點為,是否存在一條定直線,使點恒在直線上?
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,設(shè)為:上的動點,點為在軸上的投影,動點滿足,點的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,點,為直線上兩點.
(1)求的參數(shù)方程;
(2)是否存在,使得的面積為8?若存在,有幾個這樣的點?若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖①,在中,,的中點為,點在的延長線上,且.固定邊,在平面內(nèi)移動頂點,使得圓分別與邊,的延長線相切,并始終與的延長線相切于點,記頂點的軌跡為曲線.以所在直線為軸,為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,如圖②所示.
(1)求曲線的方程;
(2)過點的直線與曲線交于不同的兩點,,直線,分別交曲線于點,,設(shè),,求的取值范圍.
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【題目】已知是周期為4的奇函數(shù),且當(dāng)時,,方程在區(qū)間內(nèi)有唯一解,則方程在區(qū)間上所有解的和為( )
A. B. 036162C. 3053234D. 3055252
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【題目】由無理數(shù)論引發(fā)的數(shù)字危機一直延續(xù)到19世紀(jì),直到1872年,德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)(史稱戴德金分割),并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機,所謂戴德金分割,是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與,且滿足,,中的每一個元素都小于中的每一個元素,則稱為戴德金分割.試判斷,對于任一戴德金分割,下列選項中,可能成立的是____.
①沒有最大元素,有一個最小元素;②沒有最大元素,也沒有最小元素;
③有一個最大元素,有一個最小元素;④有一個最大元素,沒有最小元素.
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【題目】某校要通過選拔賽選取一名同學(xué)參加市級乒乓球單打比賽,選拔賽采取淘汰制,敗者直接出局,F(xiàn)有兩種賽制方案:三局兩勝制和五局三勝制。問兩選手對決時,選擇何種賽制更有利于選拔出實力最強的選手,并說明理由。(設(shè)各局勝負(fù)相互獨立,各選手水平互不相同。)
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【題目】已知橢圓的離心率,一條準(zhǔn)線方程為
⑴求橢圓的方程;
⑵設(shè)為橢圓上的兩個動點,為坐標(biāo)原點,且.
①當(dāng)直線的傾斜角為時,求的面積;
②是否存在以原點為圓心的定圓,使得該定圓始終與直線相切?若存在,請求出該定圓方程;若不存在,請說明理由.
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