Question

【題目】某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全，貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求，決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗(yàn)669人的血樣進(jìn)行化驗(yàn)，由于人數(shù)較多，檢疫部門(mén)制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案一：將每個(gè)人的血分別化驗(yàn)，這時(shí)需要驗(yàn)669次.

方案二：按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組，把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如果每個(gè)人的血均為陰性，則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性，這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次（這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次）；否則，若呈陽(yáng)性，則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn)，這時(shí)該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.

假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為，且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.

（1）設(shè)方案二中，某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為，求的分布列.

（2）設(shè)，試比較方案二中，分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)；并指出在這三種分組情況下，相比方案一，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次？（最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析；（2），462次；，404次；，397次；272次

【解析】

（1）由題得，，分別求出對(duì)應(yīng)的概率即得的分布列；

（2）先求出，再分別求出分別取2，3，4時(shí)，各需化驗(yàn)的平均總次數(shù)，即得相比方案一，化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少的次數(shù).

（1）設(shè)每個(gè)人的血呈陰性反應(yīng)的概率為，則.

所以個(gè)人的血混合后呈陰性反應(yīng)的概率為，呈陽(yáng)性反應(yīng)的概率為.

依題意可知，，

所以的分布列為：

（2）方案二中，結(jié)合(1)知每個(gè)人的平均化驗(yàn)次數(shù)為

，

所以當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)669人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為462次；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)669人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為404次；

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)669人需要化驗(yàn)的總次數(shù)為397次.

即時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多，時(shí)次數(shù)居中，時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最少，

而采用方案一則需化驗(yàn)669次.

故在這三種分組情況下，

相比方案一，當(dāng)時(shí)化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少（次）