【題目】已知四棱錐,,在平行四邊形中,,Q上的點(diǎn),過(guò)的平面分別交,于點(diǎn)E、F,且平面.

1)證明:;

2)若,Q的中點(diǎn),與平面所成角的正弦值為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2

【解析】

1)利用線面平行的性質(zhì)可知,再后再根據(jù)條件證明平面,從而證明線線垂直;

(2)如圖,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用兩個(gè)平面法向量求二面角的余弦值.

1)證明:連結(jié)于點(diǎn)O,連結(jié).

∵在平行四邊形中,

,且O、的中點(diǎn),

,∴,

,且平面,

平面

平面,∴

平面,且平面平面

2)由(1)可知平面,故平面平面

,且O的中點(diǎn),∴

又∵平面平面

平面,

與平面所成角為

與平面所成角的正弦值為,且,∴,

中,,由勾股定理得:

如圖,以O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以軸建立空間直角坐標(biāo)系,則:

,

Q的中點(diǎn),∴

,

易知,平面的一個(gè)法向量為

設(shè)平面的法向量為,因?yàn)?/span>,則:

,即,

,則:,故可取平面的一個(gè)法向量為

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某公司訂購(gòu)了一批樹(shù)苗,為了檢測(cè)這批樹(shù)苗是否合格,從中隨機(jī)抽測(cè)株樹(shù)苗的高度,經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖,其中最高的株樹(shù)苗的高度的莖葉圖如圖2所示,以這株樹(shù)苗的高度的頻率估計(jì)整批樹(shù)苗高度的概率.

1)求這批樹(shù)苗的高度于米的概率,并求圖的值;

2)若從這批樹(shù)苗中隨機(jī)選取株,記為高度在的樹(shù)苗數(shù)量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;

3)若變量滿足,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,如果這批樹(shù)苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布,則認(rèn)為這批樹(shù)苗是合格的,將順利被簽收,否則,公司將拒絕簽收.試問(wèn):該批樹(shù)苗是否被簽收?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】201971日到3日,世界新能源汽車大會(huì)在海南博鰲召開(kāi),大會(huì)著眼于全球汽車產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型升級(jí)和生態(tài)環(huán)境的持續(xù)改善.某汽車公司順應(yīng)時(shí)代潮流,最新研發(fā)了一款新能源汽車,并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程(理論上是指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程)的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,得到如圖的頻率分布直方圖.

1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

2)根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù),可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航量程X近似地服從正態(tài)分布,經(jīng)計(jì)算第(1)問(wèn)中樣本標(biāo)準(zhǔn)差s的近似值為50.用樣本平均數(shù)作為的近似值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值,現(xiàn)任取一輛汽車,求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率;

3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車,現(xiàn)面向意向客戶推出玩游戲,送大獎(jiǎng)活動(dòng),客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn),若遙控車最終停在勝利大本營(yíng),則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正,反面的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2……50格.遙控車開(kāi)始在第0格,客戶每擲一次硬幣,遙控車向前移動(dòng)一次,若擲出正面,遙控車向前移動(dòng)一格(從k),若擲出反面,遙控車向前移動(dòng)兩格(從k),直到遙控車移到第49格(勝利大本營(yíng))或第50格(失敗大本營(yíng))時(shí),游戲結(jié)束.設(shè)遙控車移到第n格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并解釋此方案能否成功吸引顧客購(gòu)買該款新能源汽車.

參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為抗擊新型冠狀病毒,普及防護(hù)知識(shí),某校開(kāi)展了疫情防護(hù)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,將他們的比賽成績(jī)(滿分為100分)分為6組:,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

1)求的值,并估計(jì)這100名學(xué)生的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表);

2)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,比賽成績(jī)低于80分為非優(yōu)秀”.請(qǐng)將下面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計(jì)

男生

40

女生

50

合計(jì)

100

參考公式及數(shù)據(jù):.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗(yàn)669人的血樣進(jìn)行化驗(yàn),由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.

方案一:將每個(gè)人的血分別化驗(yàn),這時(shí)需要驗(yàn)669.

方案二:按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果每個(gè)人的血均為陰性,則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性,這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次);否則,若呈陽(yáng)性,則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn),這時(shí)該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn).

假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.

1)設(shè)方案二中,某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列.

2)設(shè),試比較方案二中,分別取2,3,4時(shí),各需化驗(yàn)的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案一,化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】袋子中有大小、形狀完全相同的四個(gè)小球,分別寫(xiě)有“和”、“諧”、“!、“園”四個(gè)字,有放回地從中任意摸出一個(gè)小球,直到“和”、“諧”兩個(gè)字都摸到就停止摸球,用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)恰好在第三次停止摸球的概率。利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù),分別用,,,代表“和”、“諧”、“!、“園”這四個(gè)字,以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下組隨機(jī)數(shù):

由此可以估計(jì),恰好第三次就停止摸球的概率為( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】近年來(lái),隨著一帶一路倡議的推進(jìn),中國(guó)與沿線國(guó)家旅游合作越來(lái)越密切,中國(guó)到一帶一路沿線國(guó)家的游客人也越來(lái)越多,如圖是20132018年中國(guó)到一帶一路沿線國(guó)家的游客人次情況,則下列說(shuō)法正確的是(

20132018年中國(guó)到一帶一路沿線國(guó)家的游客人次逐年增加

20132018年這6年中,2014年中國(guó)到一帶一路沿線國(guó)家的游客人次增幅最小

20162018年這3年中,中國(guó)到一帶一路沿線國(guó)家的游客人次每年的增幅基本持平

A.①②③B.②③C.①②D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線,直線的參數(shù)方程為,(為參數(shù)).直線與曲線交于兩點(diǎn).

1)寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程.

2)設(shè),若成等比數(shù)列,求和的.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,多面體中,面,面,,,,.

1)求的大小;

2)若,求二面角的余弦值.

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