【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,,且存在不相等的實(shí)數(shù),使得,求證且.
【答案】(1)函數(shù)單調(diào)性見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),進(jìn)而得到函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),可通過放縮知,知其不符合題意,得到;由和時(shí),可得到,將所證不等式化為,令,利用導(dǎo)數(shù)可求得,進(jìn)而證得結(jié)論.
(1)由題意得:定義域?yàn)?/span>,,
令,則,
①當(dāng),即時(shí),,,
在上單調(diào)遞增;
②當(dāng),即時(shí),
令,解得:,,
當(dāng)時(shí),,
當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,
在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí),,在上恒成立,
在上單調(diào)遞增;
綜上所述:當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由題意得:,則;
當(dāng)時(shí),,
在上單調(diào)遞增,與存在不相等的實(shí)數(shù)使得相矛盾,
.
由得:,
,
不妨設(shè),
令,則,
在上單調(diào)遞增,,即,
,
,,
欲證,只需證,只需證,
即證,
令,則只需證,即證,
令,
則,
在上單調(diào)遞減,,從而得證,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)滿足,的虛部為2,
(1)求復(fù)數(shù);
(2)設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐的底面中,∥,,平面,是的中點(diǎn),且
(1)求證:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段內(nèi)是否存在點(diǎn),使得?若存在指出點(diǎn)的位置,若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面,底面是直角梯形,,,,點(diǎn)在上,且.
(1)點(diǎn)在上,,求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左右頂點(diǎn)),面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn),問軸上是否存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司訂購(gòu)了一批樹苗,為了檢測(cè)這批樹苗是否合格,從中隨機(jī)抽測(cè)株樹苗的高度,經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖,其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示,以這株樹苗的高度的頻率估計(jì)整批樹苗高度的概率.
(1)求這批樹苗的高度于米的概率,并求圖中的值;
(2)若從這批樹苗中隨機(jī)選取株,記為高度在的樹苗數(shù)量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)若變量滿足且,則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布,如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布,則認(rèn)為這批樹苗是合格的,將順利被簽收,否則,公司將拒絕簽收.試問:該批樹苗是否被簽收?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)
(1)時(shí),求過的切線;
(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)少于個(gè),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新《水污染防治法》已由中華人民共和國(guó)第十二屆全國(guó)人民代表大會(huì)常務(wù)委員會(huì)第二十八次會(huì)議于2017年6月27日通過,自2018年1月1日起施行.2018年3月1日,某縣某質(zhì)檢部門隨機(jī)抽取了縣域內(nèi)100眼水井,檢測(cè)其水質(zhì)總體指標(biāo).
羅斯水質(zhì)指數(shù) | 02 | 24 | 46 | 68 | 810 |
水質(zhì)狀況 | 腐敗污水 | 嚴(yán)重污染 | 污染 | 輕度污染 | 純凈 |
(1)求所抽取的100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).
(2)①由直方圖可以認(rèn)為,100眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值服從正態(tài)分布,利用該正態(tài)分布,求落在(5.21,5.99)內(nèi)的概率;
②將頻率視為概率,若某鄉(xiāng)鎮(zhèn)抽查5眼水井的水質(zhì),記這5眼水井水質(zhì)總體指標(biāo)值位于(6,10)內(nèi)的井?dāng)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:①計(jì)算得所抽查的這100眼水井總體指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為;
②若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次乙肝普查.為此需要抽驗(yàn)669人的血樣進(jìn)行化驗(yàn),由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.
方案一:將每個(gè)人的血分別化驗(yàn),這時(shí)需要驗(yàn)669次.
方案二:按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果每個(gè)人的血均為陰性,則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性,這個(gè)人的血就只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次);否則,若呈陽性,則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn),這時(shí)該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.
假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽性的概率為,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.
(1)設(shè)方案二中,某組個(gè)人中每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列.
(2)設(shè),試比較方案二中,分別取2,3,4時(shí),各需化驗(yàn)的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案一,化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))
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