【題目】如圖:在四棱錐中,平面.,,.點的交點,點在線段上且.

(1)證明:平面

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)求二面角的正切值.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3).

【解析】

1)推導出,在正三角形中,,從而

進而,由此能證明平面;
2)分別以軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,求出與平面的法向量,進而利用向量的夾角公式可求出直線與平面所成角的正弦值;

3)求出面與面的法向量,進而利用向量的夾角公式可求出二面角的平面角的余弦值,再轉化為正切值即可.

證明:(1在四棱錐中,平面.,
.的交點,

在正三角形中,
中,中點,,
,又,
,
,
在線段上且,


平面,平面,
平面
2,
分別以軸,軸,軸建立如圖的空間直角坐標系,

,


設平面的法向量,

,取,得,

,

設直線與平面所成角為
,

故直線與平面所成角的正弦值為

3)由(2)可知,為平面的法向量,

設平面的法向量為,

,即,

,解得,

設二面角的平面角為,則,

故二面角的正切值為.

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A. 56 B. 60 C. 120 D. 140

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