Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-x，若f（x）-m+1≤0恒成立，求m的取值范圍．

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：把f（x）=lnx-x代入f（x）-m+1≤0，由f（x）-m+1≤0恒成立得到m≥lnx-x+1恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-x+1（x＞0）．利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案．

解答： 解：∵f（x）=lnx-x，
則f（x）-m+1≤0恒成立等價于m≥lnx-x+1．
令g（x）=lnx-x+1（x＞0）．
則g′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)．
∴當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）有極大值，也就是最大值．
∴g（x）_max=g（1）=0．
∴m≥0．
故答案為：m≥0．

點(diǎn)評：本題考查了恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．