【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);
(2)求證:函數(shù)在
上單調(diào)遞減;
(3)求函數(shù)在閉區(qū)間
上的最小值和最大值.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)最小值為,最大值為
【解析】
(1)利用定義法證明是偶函數(shù),注意定義域的分析;
(2)利用定義法證明在
上單調(diào)遞減,注意函數(shù)單調(diào)性的證明步驟;
(3)根據(jù)的單調(diào)性、奇偶性確定出
在
上的最值.
(1)易知函數(shù)的定義域為R,顯然關(guān)于原點對稱.
又因為,
故根據(jù)偶函數(shù)的定義可知,函數(shù)是偶函數(shù).
(2)任取,且設(shè)
,則
.
又由,得
,所以
;
易知,
所以,所以
.
于是,可得,
即.
故根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可知函數(shù)在
上單調(diào)遞減.
(3)根據(jù)(1)、(2)知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,
且在上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增.
據(jù)此易得函數(shù)在閉區(qū)間
上的最小值為
,最大值為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)如圖,在平面直角坐標系xOy中,依次連接點P1(x1,1),P(x2,2),…,Pn+1(xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1,求由該折線與直線y=0,x=x1,x=xn+1所圍成的區(qū)域的面積Tn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市為了改善居民的休閑娛樂活動場所,現(xiàn)有一塊矩形草坪如下圖所示,已知:
米,
米,擬在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)三條小路
、
和
,要求點
是
的中點,點
在邊
上,點
在邊
時上,且
.
(1)設(shè),試求
的周長
關(guān)于
的函數(shù)解析式,并求出此函數(shù)的定義域;
(2)經(jīng)核算,三條路每米鋪設(shè)費用均為元,試問如何設(shè)計才能使鋪路的總費用最低?并求出最低總費用.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為進一步貫徹落實“十九”大精神,某高校組織了“歌頌祖國,緊跟黨走”為主題的黨史知識競賽,從參加競賽的學(xué)生中,隨機抽取40名學(xué)生,將其成績分為六段,
,
,得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求圖中的值;
(2)若從競賽成績在與
兩個分數(shù)段的學(xué)生
中隨機選取兩名學(xué)生,設(shè)這兩名學(xué)生的競賽成績之差的絕對值不大于
分為事件
,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性 ;
(2)若對任意
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍;
(3)當時,若函數(shù)
有兩個極值點
,求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,
與
均為邊長是2的等邊三角形,平面
平面CBE,點O是BE的中點。
(1)求證:;
(2)求直線AB與平面ACE所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x3+ex-e-x.
(1)判斷此函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)判斷此函數(shù)的單調(diào)性(不需要證明);
(3)求不等式f(2x-1)+f(-3)<0的解集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是函數(shù)的部分圖象.
(1)求函數(shù)的表達式;
(2)把函數(shù)的圖象的周期擴大為原來的兩倍,然后向右平移
個單位,再把縱坐標伸長為原來的兩倍,最后向上平移一個單位得到函數(shù)
的圖象.若對任意的
,方程
在區(qū)間
上至多有一個解,求正數(shù)
的取值范圍.
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