【題目】已知函數(shù),其中e為自然對數(shù)的底數(shù).

1)求證:函數(shù)是偶函數(shù);

2)求證:函數(shù)上單調(diào)遞減;

3)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值和最大值.

【答案】1)證明見解析(2)證明見解析(3)最小值為,最大值為

【解析】

1)利用定義法證明是偶函數(shù),注意定義域的分析;

2)利用定義法證明上單調(diào)遞減,注意函數(shù)單調(diào)性的證明步驟;

3)根據(jù)的單調(diào)性、奇偶性確定出上的最值.

1)易知函數(shù)的定義域為R,顯然關(guān)于原點對稱.

又因為,

故根據(jù)偶函數(shù)的定義可知,函數(shù)是偶函數(shù).

2)任取,且設(shè),則

.

又由,得,所以

易知,

所以,所以.

于是,可得,

.

故根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,可知函數(shù)上單調(diào)遞減.

3)根據(jù)(1)、(2)知函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,

且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

據(jù)此易得函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值為,最大值為.

練習冊系列答案
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