Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性 ；

（2）若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求

的最大值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng) 時(shí)，在 上內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2），由，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，則有 ，從而 ,再證明當(dāng)時(shí)，不符合題意,從而可得實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）求的最大值可轉(zhuǎn)化為，的最大值，利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增， 當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.

試題解析：（1）由已知得,

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)，若，有，若，有，則在上內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.

（2）令，由

解法一：

當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

則有 ，從而 ,

當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)，有，則在上內(nèi)單調(diào)遞增，此時(shí) ，與恒成立矛盾，因此不符合題意,

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.

解法二：

當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，

則有 ，符合題意.

當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)，有，若，有，則在上內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減.又，

因此，即 ,

綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3），則，

由已知，可得，即方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

則， 解得 ，其中,

而

由可得，又，所以,

設(shè)，

，由，則，故

所以在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為.