【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,橢圓的離心率為,過橢圓的左焦點(diǎn),且斜率為的直線,與以右焦點(diǎn)為圓心,半徑為的圓相切.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）線段是橢圓過右焦點(diǎn)的弦,且,求的面積的最大值以及取最大值時實(shí)數(shù)的值.

【答案】（1）（2）最大值,.

【解析】

（1）設(shè),,可得:直線的方程為:,即,直線與圓相切,圓心到直線的距離為,解得,結(jié)合已知,即可求得答案.

（2）將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,求得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識,即可求得答案.

（1）設(shè),,

直線斜率為,且過橢圓的左焦點(diǎn).

直線的方程為:,即.

直線與圓相切,

圓心到直線的距離為,

解得.

橢圓的離心率為,即,

解得:,

根據(jù):

橢圓的方程為.

（2）由（1）得,,

直線的斜率不為,

設(shè)直線的方程為:,

將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立可得:消掉

可得:,

恒成立,

設(shè),,

則,是上述方程的兩個不等根,

根據(jù)韋達(dá)定理可得:

,.

的面積:

設(shè),則,,

可得:.

令

恒成立,

函數(shù)在上為減函數(shù),故的最大值為:,

的面積的最大值為,

當(dāng)且僅當(dāng),即時取最大值,

此時直線的方程為,即直線垂直于軸,

此時,即.

綜上所述,的面積的最大值,時的面積的最大.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復(fù)圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第代“勾股樹”所有正方形的個數(shù)與面積的和分別為（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求的取值范圍.

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【題目】國家學(xué)生體質(zhì)健康測試專家組到某學(xué)校進(jìn)行測試抽查，在高三年級隨機(jī)抽取100名男生參加實(shí)心球投擲測試，測得實(shí)心球投擲距離（均在5至15米之內(nèi)）的頻數(shù)分布表如下（單位：米）：

分組

頻數(shù)

9

23

40

22

6

規(guī)定：實(shí)心球投擲距離在之內(nèi)時，測試成績?yōu)椤傲己谩�，以各組數(shù)據(jù)的中間值代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率.

（1）求，并估算該校高三年級男生實(shí)心球投擲測試成績?yōu)椤傲己谩钡陌俜直?

（2）現(xiàn)在從實(shí)心球投擲距離在，之內(nèi)的男生中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取3人參加提高體能的訓(xùn)練，求：在被抽取的3人中恰有兩人的實(shí)心球投擲距離在內(nèi)的概率.

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【題目】根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖所示.

（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為12千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關(guān)系數(shù)公式，參考數(shù)據(jù)：，.

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，

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【題目】位同學(xué)分成組，參加個不同的志愿者活動，每組至少人，其中甲乙人不能分在同一組，則不同的分配方案有_____種．（用數(shù)字作答）

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【題目】我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費(fèi)，超出的部分按議價收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）求直方圖中a的值；

（Ⅱ）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；

（Ⅲ）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計的值，并說明理由.

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（1）記全年所付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)之和為元，求關(guān)于的函數(shù).

（2）若要使全年用于支付運(yùn)費(fèi)和保管費(fèi)的資金最少，則每批應(yīng)購入電腦多少臺？

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（2）求的最大值．

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