Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得答案；（Ⅱ）對m進(jìn)行討論，解可得函數(shù)的增區(qū)間，解得函數(shù)的減區(qū)間；（III）由題意可知g′（x）=0在（1，2）上有解，討論m的范圍，判斷g′（x）的單調(diào)性和零點(diǎn)個數(shù)，得出結(jié)論．

（Ⅰ）當(dāng)時，，

所以，．

又，

所以曲線在處的切線方程為

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

，

（1）當(dāng)即時，

因?yàn)?/span>，，

所以的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間.

（2）當(dāng)，即時，令，得．

當(dāng)時，；

當(dāng)時，；

所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．

綜上，當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為．

（Ⅲ）因?yàn)?/span>，

所以.

令.

若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn),

則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).

又，

所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn).

且時，

時，

則在內(nèi)為減函數(shù)，在內(nèi)為增函數(shù).

又因?yàn)?/span>且在內(nèi)存在零點(diǎn),

所以

解得.

顯然在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記為.

當(dāng)時，時，，所以在點(diǎn)兩側(cè)異號，即在點(diǎn)兩側(cè)異號，為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)唯一極值點(diǎn).

當(dāng)時，

又在內(nèi)成立,

所以在內(nèi)單調(diào)遞增，故無極值點(diǎn).

當(dāng)時，易得時,故無極值點(diǎn).

所以當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點(diǎn).