Question

5．設函數(shù)f（x）=ax²+8x-4，對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)M（a），使得x∈[0，M（a）]時，不等式|f（x）|≤5恒成立
（1）關于M（a）關于a的表達式；
（2）求M（a）的最大值及相應的a的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的性質求出函數(shù)的最大值，研究二次函數(shù)的最值與5的大小關系，分類討論，求M（a），（2）由（1）中所得的表達式，求其最值即可．

解答 解：（1）由a＜0，f（x）=a（x+$\frac{4}{a}$）²-4-$\frac{16}{a}$，
當-4-$\frac{16}{a}$＞5，即-$\frac{16}{9}$＜a＜0時，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，
M（a）只能是ax²+8x-4=5的較小的根，即M（a）=$\frac{-\sqrt{16+9a}-4}{a}$；
當-4-$\frac{16}{a}$≤5，即a≤-$\frac{16}{9}$時，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，
M（a）只能是ax²+8x-4=-5的較大的根，即M（a）=$\frac{-4+\sqrt{16-a}}{a}$；
所以M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4+\sqrt{16+9a}}{a}，（-\frac{16}{9}＜a＜0）}\\{\frac{-4+\sqrt{16-a}}{a}，（a≤-\frac{16}{9}）}\end{array}\right.$；
（2）當-$\frac{16}{9}$≤a＜0時，M（a）=$\frac{-（\sqrt{16+9a}+4）（\sqrt{16+9a}-4）}{a（\sqrt{16+9a}-4）}$=-$\frac{9}{a（\sqrt{16+9a}-4）}$≤$\frac{9}{4}$；
當a≤-$\frac{16}{9}$時，M（a）=$\frac{（-4+\sqrt{16-a}）（4+\sqrt{16-a}）}{a（\sqrt{16-a}+4）}$=-$\frac{1}{\sqrt{16-a}+4}$≤-$\frac{3}{4\sqrt{10}+12}$；
所以M（a）的最大值為M（-$\frac{16}{9}$）=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質，求解的關鍵是正確理解“對于給定的負數(shù)a，有一個最大的正數(shù)M（a），使得x∈[0，M（a）]，時，恒有|f（x）|≤5”此條件比較抽象，易因為轉化不等價導致錯誤，要根據(jù)二次函數(shù)的性質與圖象好好研究．