【題目】如圖，在四棱錐中，側(cè)面是等邊三角形，且平面平面、E為的中點，，，，.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點F，連結(jié)，，先證四邊形為平行四邊形，進(jìn)而可得，進(jìn)而可得平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.

（1）如圖，取中點F，連結(jié)，.

因為E為中點，，所以，.

又因為，，所以，，

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又因為平面，平面，

所以平面.

（2）取中點O，連結(jié)，.

因為為等邊三角形，所以.

又因為平面平面，平面平面，

所以平面.

因為，，

所以四邊形為平行四邊形.

因為，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

所以，，

設(shè)平面的一個法向量為，

則即令，則，

顯然，平面的一個法向量為，

則即令，則，

所以.

由題知，二面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，是橢圓：上的三點，其中的坐標(biāo)為，過橢圓的中心，且橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)直線的斜率為1時，求面積；

（3）設(shè)直線：與橢圓交于兩點，，且線段的中垂線過橢圓與軸負(fù)半軸的交點，求實數(shù)的值.

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面，是邊長為的正方形．且，點是的中點．

（1）求證：；

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（1）求函數(shù)與的解析式；

（2）求證：存在，使得，，能按照某種順序成等差數(shù)列.

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【題目】在三棱柱中，平面，，點、分別在棱、上，且，，，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知雙曲線的左，右焦點分別為，，點P為雙曲線C右支上異于頂點的一點，的內(nèi)切圓與x軸切于點，則a的值為______，若直線經(jīng)過線段的中點且垂直于線段，則雙曲線C的方程為________________.

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【題目】有一塊鐵皮零件，其形狀是由邊長為的正方形截去一個三角形所得的五邊形，其中，如圖所示.現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮，使得矩形相鄰兩邊分別落在上，另一頂點落在邊或邊上.設(shè)，矩形的面積為.

（1）試求出矩形鐵皮的面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（2）試問如何截取（即取何值時），可使得到的矩形的面積最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形，右焦點到右頂點的距離為1.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在與橢圓C交于A，B兩點的直線l：，使得成立？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】

給定橢圓，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個焦點為，其短軸上的一個端點到Ｆ的距離為.

（I）求橢圓Ｃ的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(II )點P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過點P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點M，N.

（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值.

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