Question

【題目】

給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到Ｆ的距離為.

（I）求橢圓Ｃ的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(II )點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N.

（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程；

（2）求證：|MN|為定值.

Answer 1

【答案】（I）；(II )（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（I）因?yàn)?/span>，所以

所以橢圓的方程為，

準(zhǔn)圓的方程為.

（II）（1）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2）,

設(shè)過(guò)點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,

所以，消去y，得到,

因?yàn)闄E圓與只有一個(gè)公共點(diǎn),

所以,

解得.

所以方程為.

（2）①當(dāng)中有一條無(wú)斜率時(shí)，不妨設(shè)無(wú)斜率，

因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則其方程為或，

當(dāng)方程為時(shí)，此時(shí)與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，

此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(或)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是

(或)，即為(或)，顯然直線垂直；

同理可證方程為時(shí)，直線垂直.

②當(dāng)都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中，

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,

則，消去得到，

即,

，

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得到:,

因?yàn)?/span>，所以有,

設(shè)的斜率分別為,因?yàn)?/span>與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，

所以滿足上述方程,

所以，即垂直.

綜合①②知：因?yàn)?/span>經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)M，N，且垂直，

所以線段MN為準(zhǔn)圓的直徑，所以|ＭＮ|＝４.