【題目】已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,,點(diǎn)P為雙曲線C右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),的內(nèi)切圓與x軸切于點(diǎn),則a的值為______,若直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于線段,則雙曲線C的方程為________________.

【答案】2

【解析】

設(shè)點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn),按雙曲線的定義,,設(shè)三角形的內(nèi)切圓心在軸上的投影為,分別為內(nèi)切圓與的切點(diǎn).由同一點(diǎn)向圓引得兩條切線相等知,由此得到△的內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo).即為,根據(jù)條件△為直角三角形,有,,所以在△,可求解.

點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn),由雙曲線的定義,可得,
若設(shè)三角形的內(nèi)切圓心在橫軸上的投影為,

該點(diǎn)也是內(nèi)切圓與軸的切點(diǎn).設(shè)分別為內(nèi)切圓與的切點(diǎn).

考慮到同一點(diǎn)向圓引的兩條切線相等:
則有:


,
所以內(nèi)切圓的圓心橫坐標(biāo)為
由題意可得

又直線經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)且垂直于線段

設(shè)得中點(diǎn)為,則 ,

所以直線與平行,則 ,

,根據(jù)雙曲線的定義有:

則在直角三角形△中有:

解得:,所以

由勾股定理有,即

解得: ,所以

所以雙曲線方程為:

故答案為:2 .

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