【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-,0)、F2(,0).點(diǎn)M(1,0)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,2),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,n)(m≠3).過點(diǎn)M任作直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),設(shè)直線AN、NP、BN的斜率分別為k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,試求m,n滿足的關(guān)系式.
【答案】(1);(2)m-n-1=0
【解析】
試題(1)利用M與短軸端點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形,可求得b的值,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)出過M的直線l的方程,將l與橢圓C聯(lián)立,得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系,然后將k1+k3表示為直線l斜率的關(guān)系式,化簡(jiǎn)后得k1+k3=2,于是可得m,n的關(guān)系式.
試題解析:(1)由題意,c=,b=1,所以a=
故橢圓C的方程為
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),方程為x=1,代入橢圓得,y=±
不妨設(shè)A(1,),B(1,-)
因?yàn)?/span>k1+k3==2
又k1+k3=2k2,所以k2=1
所以m,n的關(guān)系式為=1,即m-n-1=0
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=k(x-1)
將y=k(x-1)代入,
整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則
又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)
所以k1+k3=
=
=
=
==2
所以2k2=2,所以k2==1
所以m,n的關(guān)系式為m-n-1=0
綜上所述,m,n的關(guān)系式為m-n-1=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)若,求曲線的直角坐標(biāo)方程以及直線的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn),曲線與直線交于兩點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若對(duì)任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱數(shù)列{an}為S數(shù)列.
(1)S數(shù)列的任意一項(xiàng)是否可以寫成其某兩項(xiàng)的差?請(qǐng)說明理由.
(2)①是否存在等差數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
②是否存在正項(xiàng)遞增等比數(shù)列為S數(shù)列,若存在,請(qǐng)舉例說明;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市調(diào)硏機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購(gòu)令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表和對(duì)“樓市限購(gòu)令”贊成人數(shù)如下表:
月收入(單位:百元) | ||||||
頻數(shù) | 5 | 10 | 5 | 5 | ||
頻率 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.1 | ||
贊成人數(shù) | 4 | 8 | 12 | 5 | 2 | 1 |
(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.
(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購(gòu)令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購(gòu)令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.
(1)求證:平面;
(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市環(huán)保部門為了讓全市居民認(rèn)識(shí)到冬天燒煤取暖對(duì)空氣數(shù)值的影響,進(jìn)而喚醒全市人民的環(huán)保節(jié)能意識(shí)。對(duì)該市取暖季燒煤天數(shù)與空氣數(shù)值不合格的天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得出下表數(shù)據(jù):
(天) | 9 | 8 | 7 | 5 | 4 |
(天) | 7 | 6 | 5 | 3 | 2 |
(1)以統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為依據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(2)根據(jù)(1)求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)該市燒煤取暖的天數(shù)為20時(shí)空氣數(shù)值不合格的天數(shù).
參考公式:,.
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