Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線交橢圓于兩點，.

（1）若，且點滿足，證明：點不在橢圓上；

（2）若橢圓的左，右焦點分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個不同點，，且，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理以及，得出點的坐標，最后將點代入橢圓方程，即可得出結(jié)論；

（2）直線的方程與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，求出以及的取值范圍，進而得出的值，再由三角形的面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出四邊形面積的最小值.

設(shè)直線交橢圓于兩點，

（1）把代入得

所以，

因為

所以，即

因為

所以點不在橢圓上；

（2）由代入得

則，

又，，

因為，所以，即

所以

因為直線與線段及橢圓的短軸分別交于不同兩點

所以

又，則

故，

，即

因為，

所以

因為

所以

故當(dāng)或時，四邊形面積的最小值為.