Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在處有最大值，求的值；

（2）當(dāng)時，判斷的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點.

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)最值點可確定，從而求得；代入的值驗證后滿足題意，可得到結(jié)果；

（2）令，將問題轉(zhuǎn)化為零點個數(shù)的求解問題；分別在、和三種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到原函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理和函數(shù)的最值可確定零點的個數(shù).

（1）由題意得：定義域為，，

在處取得最大值，，解得：.

當(dāng)時，，，

，在上單調(diào)遞減，

又，則時，；當(dāng)時，；

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，滿足題意；

綜上所述：.

（2）令，，則與的零點個數(shù)相等，

①當(dāng)時即，函數(shù)的零點個數(shù)為；

②當(dāng)時, ，在上為減函數(shù)，

即函數(shù)至多有一個零點，即至多有一個零點.

當(dāng)時，，

，即，又，

函數(shù)有且只有一個零點，即函數(shù)有且只有一個零點；

③當(dāng)時，令，即，

令，則

在上為增函數(shù)，又，

故存在，使得，即.

由以上可知：當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；

，，

令，，

則，在上為增函數(shù)，

則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，

由以上可知：當(dāng)時，有且只有一個零點，即有且只有一個零點；當(dāng)時，無零點，即無零點；

綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)無零點；當(dāng)或時，函數(shù)只有一個零點.