【題目】設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，兩點(diǎn)分別是橢圓的上，下頂點(diǎn)，是等腰直角三角形，延長交橢圓于點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于的動點(diǎn)，直線與直分別相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，求證：的外接圓恒過原點(diǎn).

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)的周長為，利用定義可解得，再根據(jù)是等腰直角三角形得到即可.

（2）設(shè)，根據(jù)直線與的斜率之積為，設(shè)直線的斜率為，則直線，，然后由，可得的坐標(biāo)，同理得到的坐標(biāo)，再利用中垂線定理，求得圓心E，驗(yàn)證即可.

（1）∵的周長為，由定義可知，，，

∴，∴，

又∵是等腰直角三角形，且，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）設(shè)，則，

∴直線與的斜率之積為，

設(shè)直線的斜率為，則直線，，

由，可得，同理，

∴線段與的中垂線交點(diǎn)，

又，

，

∴，

即共圓，

∴故的外接圓恒過定點(diǎn)

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年冬奧會申辦成功，讓中國冰雪項(xiàng)目迎來了新的發(fā)展機(jī)會，“十四冬”作為北京冬奧會前重要的練兵場，對冰雪運(yùn)動產(chǎn)生了不可忽視的帶動作用．某校對冰雪體育社團(tuán)中甲、乙兩人的滑輪、雪合戰(zhàn)、雪地足球、冰尜（ga）、爬犁速降及俯臥式爬犁6個冬季體育運(yùn)動項(xiàng)目進(jìn)行了指標(biāo)測試（指標(biāo)值滿分為5分，分高者為優(yōu)），根據(jù)測試情況繪制了如圖所示的指標(biāo)雷達(dá)圖．則下面敘述正確的是（ ）

A.甲的輪滑指標(biāo)高于他的雪地足球指標(biāo)

B.乙的雪地足球指標(biāo)低于甲的冰尜指標(biāo)

C.甲的爬犁速降指標(biāo)高于乙的爬犁速降指標(biāo)

D.乙的俯臥式爬犁指標(biāo)低于甲的雪合戰(zhàn)指標(biāo)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，.

（1）證明：平面；

（2）若且，為線段上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，若點(diǎn)為拋物線準(zhǔn)線上的動點(diǎn)，給出以下命題：

①當(dāng)為正三角形時，的值為；

②存在點(diǎn)，使得；

③若，則等于；

④的最小值為，則等于或.

其中正確的是（ ）

A.①③④B.②③C.①③D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為F，P為其上一動點(diǎn)，設(shè)直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)下列結(jié)論正確的是（ ）

A.|PM| +|PF|的最小值為3

B.拋物線C上的動點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小值為3

C.存在直線l，使得A，B兩點(diǎn)關(guān)于對稱

D.若過A、B的拋物線的兩條切線交準(zhǔn)線于點(diǎn)T，則A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和最小值為2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面，一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物，曲線為四葉玫瑰線，下列結(jié)論正確的有（ ）

（1）方程（），表示的曲線在第二和第四象限；

（2）曲線上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過2；

（3）曲線構(gòu)成的四葉玫瑰線面積大于；

（4）曲線上有5個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；

A.（1）（2）B.（1）（2）（3）

C.（1）（2）（4）D.（1）（3）（4）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知四邊形為菱形，且，取中點(diǎn)為.現(xiàn)將四邊形沿折起至，使得.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）若點(diǎn)滿足，當(dāng)平面時，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交橢圓于兩點(diǎn)，.

（1）若，且點(diǎn)滿足，證明：點(diǎn)不在橢圓上；

（2）若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，直線與線段和橢圓的短軸分別交于兩個不同點(diǎn)，，且，求四邊形面積的最小值.

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