Question

【題目】已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求的解析式；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若函數(shù)在定義域內(nèi)恒有成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）;（2） 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為;

（3）．

【解析】【試題分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程組求解；（2）先求導(dǎo)再借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系求解；（3）先將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，再分離參數(shù)借助導(dǎo)數(shù)知識求其最值，即可得到參數(shù)的范圍。

（1）由題意，得，

則，∵在點(diǎn)處的切線方程為，

∴切線斜率為，則，得，

將代入方程，得，解得，

∴，將代入得，

故．

（2）依題意知函數(shù)的定義域是，且，

令，得，令，得，

故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（3）由，得，

∴在定義域內(nèi)恒成立．

設(shè)，則，

令，得．

令，得，令，得，

故在定義域內(nèi)有極小值，此極小值又為最小值．

∴的最小值為，

所以，即的取值范圍為．