Question

對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)f（x）=

x2+(a-1)x-2a+2

2x2+ax-2a

的值恒為正數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：題目給出的函數(shù)是分式函數(shù)，且分子分母均為二次三項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)的函數(shù)均開(kāi)口向上，所以分分子分母對(duì)應(yīng)的方程同解和不同解討論，同解時(shí)利用系數(shù)相等求a的值，不同解時(shí)，若a≠0，則需分子分母對(duì)應(yīng)的方程均無(wú)解，a=0時(shí)，在定義域內(nèi)函數(shù)值恒大于0．

解答： 解：給出的函數(shù)分子分母都是二次三項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)的圖象都是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，若分子分母對(duì)應(yīng)的方程是同解方程，
則

a-1= a 2 -a=-2a+2

，解得a=2．
此時(shí)函數(shù)的值為f（x）=

1

2

＞0．
若分子分母對(duì)應(yīng)的方程不是同解方程，要保證對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值均為正，
則需要分子分母的判別式均小于0，
即

(a-1)2-4(2-2a)＜0 a2-4×2×(-2a)＜0

，
解得-7＜a＜0．
∴a的范圍是-7＜a＜0．
當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)化為f（x）=

x2-x+2

2x2

，函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠0}，分母恒大于0，分子的判別式小于0，
分子恒大于0，函數(shù)值恒正．
綜上，對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，函數(shù)值均為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是-7＜a≤0或a=2．
故答案為：-7＜a≤0或a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查了利用函數(shù)值的范圍求解參數(shù)的取值范圍，解答此題的關(guān)鍵是由函數(shù)值恒為正得到分子分母的取值情況，屬中檔題．