Question

已知函數(shù)y=lg

x-1

x+1

．
（1）討論該函數(shù)的奇偶性；
（2）分析該函數(shù)的單調(diào)性；
（3）求該函數(shù)在x∈[2，4]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求得函數(shù)定義域，看是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再研究f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)y=lg

x-1

x+1

=lg

x+1-2

x+1

=lg(1-

2

x+1

)，然后，借助于對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可；
（3）借助于（2），結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，4]的值域．

解答： 解：（1）因?yàn)?span id="ljthb7d" class="MathJye">

x-1

x+1

＞0，
∴（x-1）（x+1）＞0，
∴x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（1，+∞）．
∵f(-x)=lg

-x-1

-x+1

=lg

x+1

x-1

=lg(

x-1

x+1

)-1=-lg

x-1

x+1

=-f(x)，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
（2）f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上為增函數(shù)，證明如下：
先證明f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∵函數(shù)y=lg

x-1

x+1

=lg

x+1-2

x+1

=lg(1-

2

x+1

)，
任意設(shè)x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）
=lg(1-

2

x1+1

)-lg(1-

2

x2+1

)，
∵1＜x₁＜x₂，
∴2＜x₁+1＜x₂+1，
∴0＜

1

x2+1

＜

1

x1+1

＜

1

2

，
∴0＜

2

x2+1

＜

2

x1+1

＜1，
∴0＜1-

2

x1+1

＜1-

2

x2+1

＜1，
∴lg(1-

2

x1+1

)＜lg(1-

2

x2+1

)＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
同理，可得函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，
（3）由（2）知，函數(shù)在區(qū)間[2，4]上為增函數(shù)，
∵f(2)=lg

1

3

，f(4)=lg

3

5

∴函數(shù)在區(qū)間[2，4]上值域?yàn)閇lg

1

3

，lg

3

5

]．

點(diǎn)評：本題綜合考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，注意函數(shù)的單調(diào)性定義應(yīng)用步驟，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用，屬于中檔題，難度中等．