Question

已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

）恒成立，當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x，則當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式為（　�。�

• A、|x-2|
• B、|x+4|
• C、3-|x+1|
• D、2+|x+1|

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

）將x換為x+

1

2

，再將x換為x+1，得到函數(shù)的最小正周期為2，由當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x，求出x∈[0，1]的解析式，再由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，求出x∈[-1，0]的解析式，再將y=f（x），x∈[0，1]的圖象向左平移2個(gè)單位即得x∈[-2，-1]的圖象，合并并用絕對(duì)值表示-2＜x＜0的解析式．

解答： 解：∵?x∈R，f（x-

3

2

）=f（x+

1

2

），
∴f（x+1）=f（x-1），f（x+2）=f（x），
即f（x）是最小正周期為2的函數(shù)，
令0≤x≤1，則2≤x+2≤3，
∵當(dāng)x∈[2，3]時(shí)，f（x）=x，
∴f（x+2）=x+2，
∴f（x）=x+2，x∈[0，1]，
∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=-x+2，x∈[-1，0]，
令-2≤x≤-1，則0≤x+2≤1，
∵f（x）=x+2，x∈[0，1]，
∴f（x+2）=x+4，
∴f（x）=x+4，x∈[-2，-1]，
∴當(dāng)-2＜x＜0時(shí)，函數(shù)的解析式為：f（x）=3-|x+1|．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性及其運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)常用的方法：賦值法，正確賦值是解決此類問題的關(guān)鍵．