【題目】已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1= ,an+1= ,n=1,2,…
(1)求證:{ ﹣1}是等比數(shù)列,并求出{an}的通項(xiàng)公式;
(2)證明:對(duì)任意的x>0,an≥ ﹣ ( ﹣x),n=1,2,…
(3)證明:n﹣ ≥a1+a2+…+an> .
【答案】
(1)證明:∵an+1= ,
∴ ,即 ,
又 ,
∴{ }是以 為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列.
∴ ,
∴ ;
(2)證明: =
= ;
(3)證明:由 ,
知 ,
當(dāng)n=1時(shí)等號(hào)成立.
∴n﹣ ≥a1+a2+…+an;
由(2)知,對(duì)于任意x>0,有
,
取 ,
則a1+a2+…+an≥ .
故n﹣ ≥a1+a2+…+an> .
【解析】(1)把原數(shù)列遞推式取倒數(shù),然后配方化為 ,得到數(shù)列∴{ }是以 為首項(xiàng), 為公比的等比數(shù)列.則{an}的通項(xiàng)公式可求;(2)把{an}的通項(xiàng)公式代入后作差,整理后由差式大于等于0得答案;(3)不等式左邊直接代入數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式放縮得答案,借助于(2),分別取n=1,2,3,…,累加后取取 證得答案.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等比數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案,需要掌握{(diào)an}為等比數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列;{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列== {an}是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=loga ,(a>0且a≠1).
(1)判斷f(x)的奇偶性,并加以證明;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m使得f(x+2)+f(m﹣x)為常數(shù)?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:x∈A,且A={x|a﹣1<x<a+1},命題q:x∈B,且B={x|x2﹣4x+3≥0}
(Ⅰ)若A∩B=,A∪B=R,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個(gè)條件:
①對(duì)任意正數(shù)a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0;
③f(2)=﹣1
(I)求f(1)和 的值;
(II)試用單調(diào)性定義證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(III)求滿足f(log4x)>2的x的取值集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求a,b的值;
(2)如果是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn), 為函數(shù)的導(dǎo)數(shù),證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),又f(2)=0,則不等式x5f(x)>0的解集為( )
A.(﹣2,0)∪(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣2)∪(0,2)
C.(﹣2,0)∪(0,2)
D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)若 ,且函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn) , 且存在 滿足 ,令函數(shù) ,試判斷 零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,ABCD為矩形,△PAD為等腰直角三角形,∠APD=90°,面PAD⊥面ABCD,且AB=1,AD=2,E、F分別為PC和BD的中點(diǎn).
(1)證明:EF∥面PAD;
(2)證明:面PDC⊥面PAD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)已知函數(shù)在處的切線方程為
(1)若= ,求證:曲線上的任意一點(diǎn)處的切線與直線和直線
圍成的三角形面積為定值;
(2)若,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意都成立;
(3)在(2)的條件下,若方程有三個(gè)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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