Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．
（1）證明：EF∥面PAD；
（2）證明：面PDC⊥面PAD．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，連接AC，

∵ABCD為矩形且F是BD的中點，

∴AC必經過F

又E是PC的中點，

所以，EF∥AP

∵EF在面PAD外，PA在面內，

∴EF∥面PAD

（2）解：∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD=AD，

∴CD⊥面PAD

又AP面PAD

∴AP⊥CD

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD

又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD

【解析】（1）證明EF∥面PAD，可用線面平行的判定定理，由題設及圖，可先證明EF∥AP再由線面平行的判定定理證明；（2）證明面PDC⊥面PAD，由判定定理知要先證明線面垂直，由題設及圖知，可先證AP⊥面PCD，再由面面垂直的判定定理證明面面垂直．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．