【題目】定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足下面三個條件:
①對任意正數(shù)a,b,都有f(a)+f(b)=f(ab);
②當x>1時,f(x)<0;
③f(2)=﹣1
(I)求f(1)和 的值;
(II)試用單調(diào)性定義證明:函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(III)求滿足f(log4x)>2的x的取值集合.

【答案】解:(Ⅰ)令a=b=1,可得2f(1)=f(1),
解得f(1)=0;
令a=b=2,可得2f(2)=f(4)=﹣2,
令a=4,b= ,可得f(4)+f( )=f(1)=0,
即有f( )=﹣f(4)=2;
(Ⅱ)證明:設(shè)x1 , x2∈(0,+∞)且x1<x2 ,
可得 >1,即有f( )<0,
則f(x2)=f(x1 )=f(x1)+f( )<f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù);
(Ⅲ)f(log4x)>2即為
f(log4x)> ,
由(Ⅱ)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)
所以 ,即為 ,
解得 ,
故不等式的解集為(1,
【解析】(Ⅰ)令a=b=1,代入計算即可求得f(1)=0;令a=b=2,求得f(4)=﹣2,令a=4,b= ,即可得到所求值;(Ⅱ)運用單調(diào)性的定義證明,注意運用條件可得 >1,即有f( )<0;(Ⅲ)f(log4x)>2即為f(log4x)> ,由(Ⅱ)f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),可得不等式組,解得即可得到所求集合.

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體積(升/件)

重量(公斤/件)

利潤(元/件)

20

10

8

10

20

10

在一次運輸中,貨物總體積不超過110升,總重量不超過100公斤,那么在合理的安排下,一次運輸獲得的最大利潤為(
A.65元
B.62元
C.60元
D.56元

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