Question

如圖，拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（1）求該拋物線方程；
（2）若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），求直線AB方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意設(shè)出拋物線方程，代入P點(diǎn)坐標(biāo)求p，則拋物線方程可求；
（2）把A，B的坐標(biāo)代入拋物線方程，作差后結(jié)合AB的中點(diǎn)坐標(biāo)求出AB所在直線的斜率，由點(diǎn)斜式得AB所在直線方程．

解答： 解：（1）由題意可設(shè)拋物線方程為y²=2px（p＞0），
∵P（1，2）在拋物線上，
∴2²=2p，即p=2．
∴拋物線方程為：y²=4x；
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線上，
∴y12=4x1，y22=4x2．
兩式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

．
又AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
∴y₁+y₂=-2，
則kAB=

y1-y2

x1-x2

=

4

-2

=-2．
∴直線AB方程為y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線方程的求法，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求直線的斜率，涉及中點(diǎn)弦問題常用此法解決，是中檔題．