Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

3

）^x，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}{b_n＞0}的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項和為T_n，問使T_n＞

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2014

的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用n≥2時，a_n=[f（n）-c]-[f（n-1）-c]，求數(shù)列{a_n}的通項公式；確定{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，可求{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法求數(shù)列的和，結合T_n＞

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2014

，可求最小正整數(shù)n的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=（

1

3

）^x，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，
∴n≥2時，a_n=[f（n）-c]-[f（n-1）-c]=-

2

3n

，
∴等比數(shù)列{a_n}的公比為q=

1

3

，
∴c=1，a₁=-

2

3

，
∴a_n=-

2

3n

；
∵數(shù)列{b_n}{b_n＞0}的首項為c，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
∴b₁=1，

Sn

-

Sn-1

=1，
∴{

Sn

}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴

Sn

=n，
∴S_n=n²，
∴n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∵b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
由T_n＞

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2014

，得

n

2n+1

＞

1005

2014

，解得n＞251.25
∴T_n＞

1005

2014

的最小正整數(shù)n是252．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項法的運用，掌握數(shù)列通項的特點，選擇正確的求和方法是關鍵．