Question

已知0＜x＜1，0＜y＜1，求證：

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

≥2

2

．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題

分析：依題意，作圖如下，利用兩點間的距離公式可知|PO|=

x2+y2

，|PA|=

(1-x)2+y2

，|PB|=

(1-x)2+(1-y)2

，|PC|=

x2+(1-y)2

，利用三角不等式可證|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2

2

．

解答： 解：∵0＜x＜1，0＜y＜1，設(shè)P（x，y），A（1，0），B（1，1），C（0，1），如圖：

則|PO|=

x2+y2

，|PA|=

(1-x)2+y2

，|PB|=

(1-x)2+(1-y)2

，|PC|=

x2+(1-y)2

，
∵|PO|+|PB|≥|BO|=

2

，|PA|+|PC|≥|AC|=

2

，
∴|PO|+|PB|+|PA|+|PC|≥2

2

（當(dāng)且僅當(dāng)點P為正方形的對角線AC與OB的交點是取等號），
∴

x2+y2

+

x2+(1-y)2

+

(1-x)2+y2

+

(1-x)2+(1-y)2

≥2

2

．

點評：本題考查不等式的證明，考查作圖能力，突出考查兩點間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．